広義積分 $\int_0^\infty e^{-x} dx$ の値を求める問題です。

## 問題44 (4) の広義積分

1. 問題の内容

広義積分 $\int_0^\infty e^{-x} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

広義積分 $\int_0^\infty e^{-x} dx$ は、次のように計算します。

まず、不定積分 $\int e^{-x} dx$ を計算します。

$u = -x$ と置換すると、$du = -dx$ となり、

$\int e^{-x} dx = \int e^u (-du) = -e^u = -e^{-x} + C$ となります。

次に、定積分を計算します。

$\int_0^\infty e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} [-e^{-x}]_0^t = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} - (-e^{-0})) = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} + 1)$

$t \to \infty$ のとき、$e^{-t} \to 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} (-e^{-t} + 1) = -0 + 1 = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$\int_0^\infty e^{-x} dx = 1$