三角関数の公式を用いて、以下の関数を積分します。 (1) $\sin^2 x$ (2) $\tan^2 x$ (3) $\sin 4x \cos 3x$ (4) $\cos 4x \cos 3x$

1. 問題の内容

三角関数の公式を用いて、以下の関数を積分します。

(1) $\sin^2 x$

(2) $\tan^2 x$

(3) $\sin 4x \cos 3x$

(4) $\cos 4x \cos 3x$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^2 x$ の積分

半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を利用します。

$\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

(2) $\tan^2 x$ の積分

三角関数の公式 $\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \sec^2 x - 1$ を利用します。

$\int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \tan x - x + C$

(3) $\sin 4x \cos 3x$ の積分

積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$ を利用します。

$\sin 4x \cos 3x = \frac{1}{2} (\sin (4x + 3x) + \sin (4x - 3x)) = \frac{1}{2} (\sin 7x + \sin x)$

$\int \sin 4x \cos 3x \, dx = \int \frac{1}{2} (\sin 7x + \sin x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 7x + \sin x) \, dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{7} \cos 7x - \cos x) + C = -\frac{\cos 7x}{14} - \frac{\cos x}{2} + C$

(4) $\cos 4x \cos 3x$ の積分

積和の公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$ を利用します。

$\cos 4x \cos 3x = \frac{1}{2} (\cos (4x + 3x) + \cos (4x - 3x)) = \frac{1}{2} (\cos 7x + \cos x)$

$\int \cos 4x \cos 3x \, dx = \int \frac{1}{2} (\cos 7x + \cos x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos 7x + \cos x) \, dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{7} \sin 7x + \sin x) + C = \frac{\sin 7x}{14} + \frac{\sin x}{2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

(2) $\int \tan^2 x \, dx = \tan x - x + C$

(3) $\int \sin 4x \cos 3x \, dx = -\frac{\cos 7x}{14} - \frac{\cos x}{2} + C$

(4) $\int \cos 4x \cos 3x \, dx = \frac{\sin 7x}{14} + \frac{\sin x}{2} + C$