$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ のとき、 $\{ x^2 + y^2 \leq 1, \sin\theta \leq x \leq \cos\theta \}$ で定義される領域の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ のとき、

$\{ x^2 + y^2 \leq 1, \sin\theta \leq x \leq \cos\theta \}$ で定義される領域の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

領域 $S$ の面積は、円 $x^2 + y^2 \leq 1$ の $\sin\theta \leq x \leq \cos\theta$ の部分の面積である。

この領域は、中心角が $\frac{\pi}{2}$ の扇形から、$\sin\theta$ から $\cos\theta$ までの積分を引いたものと考えることができる。

扇形の中心角は $\frac{\pi}{2}$ から$\theta$と$\frac{\pi}{2}-\theta$を引いたものとなるため$\frac{\pi}{2}$である。

この領域の面積を積分で求める。

$S = \int_{\sin\theta}^{\cos\theta} \sqrt{1 - x^2} dx$

$x = \sin t$ と置換すると、$dx = \cos t dt$。

$x = \sin\theta$ のとき $t = \theta$。

$x = \cos\theta$ のとき $t = \frac{\pi}{2} - \theta$。

したがって、

$S = \int_{\theta}^{\frac{\pi}{2} - \theta} \sqrt{1 - \sin^2 t} \cos t dt = \int_{\theta}^{\frac{\pi}{2} - \theta} \cos^2 t dt$

$\cos^2 t = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$ より、

$S = \int_{\theta}^{\frac{\pi}{2} - \theta} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{\theta}^{\frac{\pi}{2} - \theta} (1 + \cos(2t)) dt$

$S = \frac{1}{2} \left[ t + \frac{1}{2}\sin(2t) \right]_{\theta}^{\frac{\pi}{2} - \theta}$

$S = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \theta + \frac{1}{2} \sin(\pi - 2\theta) \right) - \left( \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right) \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 2\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) - \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right) = \frac{\pi}{4} - \theta$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \theta$