定積分 $\int_2^5 \frac{1}{\sqrt{5-4x-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_2^5 \frac{1}{\sqrt{5-4x-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、根号の中の式を平方完成します。

$5-4x-x^2 = 5-(x^2+4x) = 5-(x^2+4x+4-4) = 5-(x+2)^2+4 = 9-(x+2)^2$

したがって、

$\int_2^5 \frac{1}{\sqrt{5-4x-x^2}} dx = \int_2^5 \frac{1}{\sqrt{9-(x+2)^2}} dx$

ここで、$x+2 = 3\sin\theta$ と置換します。

$dx = 3\cos\theta d\theta$

$x=2$ のとき、$4 = 3\sin\theta$ より $\sin\theta = \frac{4}{3}$ となりますが、$\sin\theta$ の値域は $[-1, 1]$ なので、この置換は $x=2$ で定義できません。

平方完成した式をよく見ると、$9-(x+2)^2$ は $x=2$ で $9-(2+2)^2=9-16 = -7$ となり、負の値を取ります。

$x=5$ では $9-(5+2)^2 = 9-49 = -40$ となり、負の値を取ります。

従って、積分範囲において、根号の中身が負になってしまうため、この積分は実数の範囲では定義できません。

問題を修正します。おそらく積分範囲は[-5,1]の範囲内にあるはずです。

$x+2=3\sin\theta$とおくと、$dx = 3\cos\theta d\theta$。

$x$が$-5$から$1$まで変化するとき、$x+2$は$-3$から$3$まで変化します。

$\sin\theta = \frac{x+2}{3}$

$x=-5$ のとき、$\sin\theta = \frac{-5+2}{3} = -1$ より $\theta = -\frac{\pi}{2}$

$x=1$ のとき、$\sin\theta = \frac{1+2}{3} = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$

$\sqrt{9-(x+2)^2} = \sqrt{9-9\sin^2\theta} = \sqrt{9(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3\cos\theta$

$\int_{-5}^1 \frac{1}{\sqrt{9-(x+2)^2}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{3\cos\theta}{3\cos\theta} d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 d\theta = [\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$

3. 最終的な答え

積分範囲が[-5,1]の場合、最終的な答えは$\pi$ です。積分が実数の範囲で定義できないため、範囲が誤っている可能性があります。

$\int_2^5 \frac{1}{\sqrt{5-4x-x^2}} dx$ は定義できません。