以下の4つの広義積分の値を求めます。 (1) $\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} dx$ (2) $\int_{0}^{2} \frac{1}{(x-2)^3} dx$ (3) $\int_{0}^{1} \log x dx$ (4) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$

1. 問題の内容

以下の4つの広義積分の値を求めます。

(1) $\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} dx$

(2) $\int_{0}^{2} \frac{1}{(x-2)^3} dx$

(3) $\int_{0}^{1} \log x dx$

(4) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$u = x-1$ と置換すると、$du = dx$ であり、$x=1$ のとき $u=0$、$x=9$ のとき $u=8$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} du = \int_{0}^{8} u^{-1/3} du$

$= \left[ \frac{3}{2} u^{2/3} \right]_{0}^{8} = \frac{3}{2} (8^{2/3} - 0^{2/3}) = \frac{3}{2} (4) = 6$

(2)

$\int_{0}^{2} \frac{1}{(x-2)^3} dx = \lim_{b \to 2^-} \int_{0}^{b} (x-2)^{-3} dx$

$= \lim_{b \to 2^-} \left[ -\frac{1}{2} (x-2)^{-2} \right]_{0}^{b}$

$= \lim_{b \to 2^-} \left[ -\frac{1}{2(x-2)^2} \right]_{0}^{b} = \lim_{b \to 2^-} \left( -\frac{1}{2(b-2)^2} + \frac{1}{2(0-2)^2} \right)$

$= \lim_{b \to 2^-} \left( -\frac{1}{2(b-2)^2} + \frac{1}{8} \right)$

$b \to 2^-$ のとき、$(b-2)^2 \to 0^+$ なので、$-\frac{1}{2(b-2)^2} \to -\infty$ となり、積分は発散します。

(3)

$\int_{0}^{1} \log x dx = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ です。

$\int_{a}^{1} \log x dx = [x \log x]_{a}^{1} - \int_{a}^{1} x \cdot \frac{1}{x} dx$

$= (1 \log 1 - a \log a) - \int_{a}^{1} 1 dx = (0 - a \log a) - [x]_{a}^{1} = -a \log a - (1-a)$

$= -a \log a - 1 + a$

$\lim_{a \to 0^+} a \log a = 0$ なので、

$\lim_{a \to 0^+} (-a \log a - 1 + a) = 0 - 1 + 0 = -1$

(4)

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{-x} dx$

$= \lim_{b \to \infty} [-e^{-x}]_{0}^{b} = \lim_{b \to \infty} (-e^{-b} - (-e^{-0})) = \lim_{b \to \infty} (-e^{-b} + 1)$

$= 0 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 発散

(3) -1

(4) 1