与えられた関数の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。 (1) $y = 2x^3 - 9x^2$ ($-1 \le x \le 5$) (2) $y = -x^3 + 12x - 1$ ($-4 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

与えられた関数の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

(1) $y = 2x^3 - 9x^2$ ($-1 \le x \le 5$)

(2) $y = -x^3 + 12x - 1$ ($-4 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^3 - 9x^2$ の場合

まず、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 6x^2 - 18x = 6x(x - 3)$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$6x(x - 3) = 0$ より、$x = 0, 3$

次に、与えられた区間の端点 $x = -1, 5$ と、導関数が 0 になる点 $x = 0, 3$ での $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 = -2 - 9 = -11$

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^3 - 9(0)^2 = 0$

$x = 3$ のとき、$y = 2(3)^3 - 9(3)^2 = 54 - 81 = -27$

$x = 5$ のとき、$y = 2(5)^3 - 9(5)^2 = 250 - 225 = 25$

これらの $y$ の値を比較すると、最大値は 25 ($x = 5$ のとき)、最小値は -27 ($x = 3$ のとき) となります。

(2) $y = -x^3 + 12x - 1$ の場合

まず、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = -3x^2 + 12 = -3(x^2 - 4) = -3(x - 2)(x + 2)$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$-3(x - 2)(x + 2) = 0$ より、$x = -2, 2$

次に、与えられた区間の端点 $x = -4, 1$ と、導関数が 0 になる点 $x = -2$ （ただし、 $x=2$ は区間外なので考慮しない）での $y$ の値を計算します。

$x = -4$ のとき、$y = -(-4)^3 + 12(-4) - 1 = 64 - 48 - 1 = 15$

$x = -2$ のとき、$y = -(-2)^3 + 12(-2) - 1 = 8 - 24 - 1 = -17$

$x = 1$ のとき、$y = -(1)^3 + 12(1) - 1 = -1 + 12 - 1 = 10$

これらの $y$ の値を比較すると、最大値は 15 ($x = -4$ のとき)、最小値は -17 ($x = -2$ のとき) となります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 25 ($x = 5$ のとき), 最小値: -27 ($x = 3$ のとき)

(2) 最大値: 15 ($x = -4$ のとき), 最小値: -17 ($x = -2$ のとき)