(1) 3次方程式 $x^3 + 6x^2 - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。 (2) 不等式 $3x^4 + 1 \ge 4x^3$ が成り立つことを証明せよ。

1. 問題の内容

(1) 3次方程式 $x^3 + 6x^2 - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。

(2) 不等式 $3x^4 + 1 \ge 4x^3$ が成り立つことを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 + 6x^2 - 8$ とおく。

$f'(x) = 3x^2 + 12x = 3x(x + 4)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, -4$ のとき。

増減表を書くと、

$x$ | $\cdots$ | -4 | $\cdots$ | 0 | $\cdots$

$f'(x)$ | + | 0 | - | 0 | +

$f(x)$ | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$

$f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 - 8 = -64 + 96 - 8 = 24$

$f(0) = 0^3 + 6(0)^2 - 8 = -8$

$x = -4$ で極大値24をとり、$x = 0$ で極小値-8をとる。

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to -\infty$

したがって、$y = f(x)$ のグラフは、$x$軸と3点で交わる。

よって、異なる実数解の個数は3個。

(2)

不等式 $3x^4 + 1 \ge 4x^3$ を証明する。

$g(x) = 3x^4 - 4x^3 + 1$ とおく。

$g'(x) = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x - 1)$

$g'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, 1$ のとき。

増減表を書くと、

$x$ | $\cdots$ | 0 | $\cdots$ | 1 | $\cdots$

$g'(x)$ | - | 0 | - | 0 | +

$g(x)$ | $\searrow$ | | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$

$g(0) = 1$

$g(1) = 3(1)^4 - 4(1)^3 + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$

$x = 1$ で極小値0をとる。

$g(x)$ の最小値は0であるから、$g(x) \ge 0$ が成り立つ。

したがって、$3x^4 + 1 \ge 4x^3$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) 3個

(2) 証明完了