与えられた関数の、指定された点における接平面の方程式を求める問題です。3つの関数についてそれぞれ接平面の方程式を求めます。 (1) $z = 3x^2y + xy$、点 $(1, -1, -4)$ (2) $z = \frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{3^2}$、点 $(2, -3, 2)$ (3) $z = \frac{x}{x+y}$、点 $(-2, 1, 2)$

1. 問題の内容

与えられた関数の、指定された点における接平面の方程式を求める問題です。3つの関数についてそれぞれ接平面の方程式を求めます。

(1) $z = 3x^2y + xy$、点 $(1, -1, -4)$

(2) $z = \frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{3^2}$、点 $(2, -3, 2)$

(3) $z = \frac{x}{x+y}$、点 $(-2, 1, 2)$

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、関数 $z = f(x, y)$ に対して、点 $(x_0, y_0, z_0)$ において、次のように表されます。

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、$f_x$ と $f_y$ はそれぞれ $f(x, y)$ の $x$ と $y$ に関する偏微分を表します。

(1) $z = 3x^2y + xy$、点 $(1, -1, -4)$

まず、$f_x$ と $f_y$ を計算します。

$f_x = 6xy + y$

$f_y = 3x^2 + x$

次に、点 $(1, -1)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, -1) = 6(1)(-1) + (-1) = -6 - 1 = -7$

$f_y(1, -1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4$

したがって、接平面の方程式は

$z - (-4) = -7(x - 1) + 4(y - (-1))$

$z + 4 = -7x + 7 + 4y + 4$

$z = -7x + 4y + 7$

(2) $z = \frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{3^2} = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}$、点 $(2, -3, 2)$

まず、$f_x$ と $f_y$ を計算します。

$f_x = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$

$f_y = \frac{2y}{9}$

次に、点 $(2, -3)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(2, -3) = \frac{2}{2} = 1$

$f_y(2, -3) = \frac{2(-3)}{9} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$

したがって、接平面の方程式は

$z - 2 = 1(x - 2) - \frac{2}{3}(y - (-3))$

$z - 2 = x - 2 - \frac{2}{3}y - 2$

$z = x - \frac{2}{3}y - 2$

(3) $z = \frac{x}{x+y}$、点 $(-2, 1, 2)$

まず、$f_x$ と $f_y$ を計算します。

$f_x = \frac{(x+y)(1) - x(1)}{(x+y)^2} = \frac{y}{(x+y)^2}$

$f_y = \frac{(x+y)(0) - x(1)}{(x+y)^2} = \frac{-x}{(x+y)^2}$

次に、点 $(-2, 1)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(-2, 1) = \frac{1}{(-2+1)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$

$f_y(-2, 1) = \frac{-(-2)}{(-2+1)^2} = \frac{2}{(-1)^2} = 2$

したがって、接平面の方程式は

$z - 2 = 1(x - (-2)) + 2(y - 1)$

$z - 2 = x + 2 + 2y - 2$

$z = x + 2y + 2$

3. 最終的な答え

(1) $z = -7x + 4y + 7$

(2) $z = x - \frac{2}{3}y - 2$

(3) $z = x + 2y + 2$