定積分を含む等式 $\int_{a}^{x} f(t) dt = 2x^2 + 12x + 18$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分を含む等式 $\int_{a}^{x} f(t) dt = 2x^2 + 12x + 18$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 等式の両辺を $x$ で微分します。積分区間の上限が $x$ である定積分の微分は、被積分関数に $x$ を代入するだけで求まります。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

$\frac{d}{dx} (2x^2 + 12x + 18) = 4x + 12$

したがって、$f(x) = 4x + 12$

2. $f(x)$ が求まったので、元の等式に代入します。

$\int_{a}^{x} (4t + 12) dt = 2x^2 + 12x + 18$

3. 左辺の積分を実行します。

$\int_{a}^{x} (4t + 12) dt = [2t^2 + 12t]_{a}^{x} = (2x^2 + 12x) - (2a^2 + 12a)$

4. 積分結果を元の等式に代入します。

$2x^2 + 12x - (2a^2 + 12a) = 2x^2 + 12x + 18$

5. 両辺を比較して、$a$ に関する方程式を立てます。

$- (2a^2 + 12a) = 18$

$2a^2 + 12a + 18 = 0$

$a^2 + 6a + 9 = 0$

$(a + 3)^2 = 0$

したがって、$a = -3$

3. 最終的な答え

$f(x) = 4x + 12$, $a = -3$