与えられた微分 $f'(x)$ の式において、空欄（ア、イ、ウ、エ）を埋める問題です。$f(x) = \sin x$ と仮定して解きます。

1. 問題の内容

与えられた微分 $f'(x)$ の式において、空欄（ア、イ、ウ、エ）を埋める問題です。$f(x) = \sin x$ と仮定して解きます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sin x$ であるから、$f(x+h) = \sin(x+h)$ となります。これを微分の定義式に代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$

したがって、アには $\sin(x+h)$ が入ります。

次に、$\sin(x+h)$ を加法定理を用いて展開します。

$\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$

これを代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$

したがって、イには $\sin x \cos h + \cos x \sin h$ が入ります。

さらに式を整理します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \left(\sin x \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \frac{\sin h}{h} \right)$

したがって、ウには $\cos h - 1$ が入ります。

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$ を計算するために、分子と分母に $\cos h + 1$ を掛けます。

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{-\sin h}{\cos h + 1} = 1 \cdot \frac{0}{1+1} = 0$

したがって、

$f'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)}$

したがって、エには $-\sin^2 h$ が入ります。

3. 最終的な答え

ア: $\sin(x+h)$

イ: $\sin x \cos h + \cos x \sin h$

ウ: $\cos h - 1$

エ: $-\sin^2 h$