関数 $y = \frac{1}{(3x+2)^3}$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{(3x+2)^3}$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = (3x+2)^{-3}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を適用します。

チェーンルールは、関数 $y = f(g(x))$ の微分が $\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ で与えられるというものです。

ここでは、$f(u) = u^{-3}$ かつ $g(x) = 3x+2$ と考えます。

まず、$u = g(x) = 3x+2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 3$ となります。

次に、$y = f(u) = u^{-3}$ を $u$ で微分すると、$\frac{dy}{du} = -3u^{-4} = -3(3x+2)^{-4}$ となります。

したがって、チェーンルールより、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -3(3x+2)^{-4} \cdot 3 = -9(3x+2)^{-4}$

となります。

最後に、指数を正の形に戻すと、$\frac{dy}{dx} = \frac{-9}{(3x+2)^4}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{9}{(3x+2)^4}$