与えられた関数の2次導関数 $y''$ を求めます。 (1) $y = e^x (\sin x - \cos 2x)$ (2) $y = \sqrt{\log(2x+1)}$

1. 問題の内容

与えられた関数の2次導関数 $y''$ を求めます。

(1) $y = e^x (\sin x - \cos 2x)$

(2) $y = \sqrt{\log(2x+1)}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、1次導関数 $y'$ を求めます。積の微分法を使います。

$y' = (e^x)'(\sin x - \cos 2x) + e^x (\sin x - \cos 2x)'$

$y' = e^x (\sin x - \cos 2x) + e^x (\cos x + 2\sin 2x)$

$y' = e^x (\sin x + \cos x - \cos 2x + 2\sin 2x)$

次に、2次導関数 $y''$ を求めます。再び積の微分法を使います。

$y'' = (e^x)'(\sin x + \cos x - \cos 2x + 2\sin 2x) + e^x (\sin x + \cos x - \cos 2x + 2\sin 2x)'$

$y'' = e^x (\sin x + \cos x - \cos 2x + 2\sin 2x) + e^x (\cos x - \sin x + 2\sin 2x + 4\cos 2x)$

$y'' = e^x (2\cos x + 6\sin 2x + 3\cos 2x)$

(2)

まず、1次導関数 $y'$ を求めます。合成関数の微分法を使います。

$y = (\log(2x+1))^{1/2}$

$y' = \frac{1}{2} (\log(2x+1))^{-1/2} \cdot \frac{1}{2x+1} \cdot 2$

$y' = \frac{1}{\sqrt{\log(2x+1)}} \cdot \frac{1}{2x+1}$

$y' = \frac{1}{(2x+1)\sqrt{\log(2x+1)}}$

次に、2次導関数 $y''$ を求めます。商の微分法を使います。

$y'' = \frac{0 \cdot (2x+1)\sqrt{\log(2x+1)} - 1 \cdot ((2x+1)\sqrt{\log(2x+1)})'}{((2x+1)\sqrt{\log(2x+1)})^2}$

まず、 $((2x+1)\sqrt{\log(2x+1)})'$ を求めます。積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$((2x+1)\sqrt{\log(2x+1)})' = 2\sqrt{\log(2x+1)} + (2x+1) \cdot \frac{1}{2} (\log(2x+1))^{-1/2} \cdot \frac{2}{2x+1}$

$= 2\sqrt{\log(2x+1)} + \frac{1}{\sqrt{\log(2x+1)}}$

$= \frac{2\log(2x+1) + 1}{\sqrt{\log(2x+1)}}$

よって、

$y'' = \frac{- \frac{2\log(2x+1) + 1}{\sqrt{\log(2x+1)}}}{(2x+1)^2 \log(2x+1)}$

$y'' = - \frac{2\log(2x+1) + 1}{(2x+1)^2 (\log(2x+1))^{3/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y'' = e^x (2\cos x + 6\sin 2x + 3\cos 2x)$

(2) $y'' = - \frac{2\log(2x+1) + 1}{(2x+1)^2 (\log(2x+1))^{3/2}}$