問題5について、以下の問題を解きます。 (1) $t(x) = \cos^{-1} x$ について $\frac{dx}{dt}$ を求める。 (2) $t(0)$ と $t(1)$ を求める。

1. 問題の内容

問題5について、以下の問題を解きます。

(1) $t(x) = \cos^{-1} x$ について $\frac{dx}{dt}$ を求める。

(2) $t(0)$ と $t(1)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t(x) = \cos^{-1} x$ より、 $x = \cos t$ となる。

したがって、$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t$ となる。

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ より、 $\sin t = \sqrt{1 - \cos^2 t}$ である。($0 \le t \le \pi$ より $\sin t \ge 0$)

$\cos t = x$ を代入すると、$\sin t = \sqrt{1 - x^2}$ となる。

よって、$\frac{dx}{dt} = -\sqrt{1 - x^2}$

(2)

$t(x) = \cos^{-1} x$ に $x = 0$ を代入すると、 $t(0) = \cos^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}$

$t(x) = \cos^{-1} x$ に $x = 1$ を代入すると、 $t(1) = \cos^{-1} 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dx}{dt} = -\sqrt{1 - x^2}$

(2) $t(0) = \frac{\pi}{2}$, $t(1) = 0$