与えられた2つの関数について、マクローリン展開を求める問題です。 (1) $f(x) = \log(1 - 5x + 6x^2)$ (2) $g(x) = \cosh(3x)$ (ただし、$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$)

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、マクローリン展開を求める問題です。

(1) $f(x) = \log(1 - 5x + 6x^2)$

(2) $g(x) = \cosh(3x)$ (ただし、$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \log(1 - 5x + 6x^2)$ のマクローリン展開

まず、$1 - 5x + 6x^2$ を因数分解します。

$1 - 5x + 6x^2 = (1 - 2x)(1 - 3x)$

したがって、$f(x) = \log((1 - 2x)(1 - 3x)) = \log(1 - 2x) + \log(1 - 3x)$

$\log(1 - x)$ のマクローリン展開は、$\log(1 - x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ です。

したがって、

$\log(1 - 2x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n}$

$\log(1 - 3x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3x)^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n}$

$f(x) = \log(1 - 2x) + \log(1 - 3x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2^n + 3^n) x^n}{n}$

(2) $g(x) = \cosh(3x)$ のマクローリン展開

$\cosh(3x) = \frac{e^{3x} + e^{-3x}}{2}$

$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ です。

したがって、

$e^{3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n!}$

$e^{-3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n x^n}{n!}$

$\cosh(3x) = \frac{e^{3x} + e^{-3x}}{2} = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n x^n}{n!}}{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n x^n + (-1)^n 3^n x^n}{2 \cdot n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1 + (-1)^n) 3^n x^n}{2 \cdot n!}$

$n$ が奇数の場合、$1 + (-1)^n = 0$。$n$ が偶数の場合、$1 + (-1)^n = 2$。

したがって、$n = 2k$ とおくと、

$\cosh(3x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1 + (-1)^{2k}) 3^{2k} x^{2k}}{2 \cdot (2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2 \cdot 3^{2k} x^{2k}}{2 \cdot (2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3^{2k} x^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(9x^2)^k}{(2k)!}$

3. 最終的な答え

(1) $\log(1 - 5x + 6x^2) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2^n + 3^n) x^n}{n}$

(2) $\cosh(3x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(9x^2)^k}{(2k)!}$