与えられた3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = x^2 e^{3x}$ (2) $y = \sin^{-1} \sqrt{2x}$ (3) $y = (2x)^x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = x^2 e^{3x}$

(2) $y = \sin^{-1} \sqrt{2x}$

(3) $y = (2x)^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 e^{3x}$ の微分

積の微分法を使用します。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x^2$ と $v = e^{3x}$ とすると、

$u' = 2x$

$v' = 3e^{3x}$

したがって、

$y' = (x^2)'e^{3x} + x^2 (e^{3x})' = 2x e^{3x} + x^2 (3e^{3x}) = 2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x} = (2x + 3x^2) e^{3x} = x(2+3x)e^{3x}$

(2) $y = \sin^{-1} \sqrt{2x}$ の微分

合成関数の微分法を使用します。$\frac{d}{dx} \sin^{-1} u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$

$u = \sqrt{2x}$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}$

したがって、

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{2x})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x(1-2x)}}$

(3) $y = (2x)^x$ の微分

両辺の対数を取ってから微分します。

$\ln y = \ln (2x)^x = x \ln (2x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln (2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \ln (2x) + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y (\ln (2x) + 1) = (2x)^x (\ln (2x) + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = x(2+3x)e^{3x}$

(2) $y' = \frac{1}{\sqrt{2x(1-2x)}}$

(3) $y' = (2x)^x (\ln (2x) + 1)$