## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の7つの種類に分かれています。

1. **微分**: 与えられた関数の導関数を求める問題。

2. **極限**: 数列または関数の極限値を求める問題。

3. **マクローリン展開**: 与えられた関数をマクローリン展開する問題。収束半径は求めなくてもよい。

4. **定積分と不定積分**: 与えられた関数の定積分または不定積分を求める問題。

5. **広義積分**: 広義積分の値を求める問題。

6. **極限**: 和の形をした式の極限値を求める問題。

7. **面積**: 極座標で表された曲線で囲まれた領域の面積を求める問題。

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2. 解き方の手順

問題を一つずつ解いていきます。

**(1) 微分**

(1) $y = x \sin^3 x$

積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$y' = \sin^3 x + x \cdot 3 \sin^2 x \cdot \cos x = \sin^3 x + 3x \sin^2 x \cos x$

(2) $y = \cos^{-1} \sqrt{x-1}$

合成関数の微分法を用いる。

$y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}\sqrt{2-x}} = -\frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)}}$

(3) $y = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x$

積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$y = x \sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$

$y' = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}} \cdot \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2}$

$y' = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}} \cdot \frac{-3}{(x-1)^2}$

$y' = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} - \frac{3x}{2(x-1)^2} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$

$y' = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} - \frac{3x}{2(x-1)\sqrt{(x-1)(x+2)}}$

**(2) 極限**

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n-1} + 3^n + n^2}{2^n + 4^n + n^3}$

分子と分母を $4^n$ で割る。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^{2n-1}}{4^n} + \frac{3^n}{4^n} + \frac{n^2}{4^n}}{\frac{2^n}{4^n} + 1 + \frac{n^3}{4^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^n + \frac{n^2}{4^n}}{(\frac{1}{2})^n + 1 + \frac{n^3}{4^n}}$

$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{4})^n = 0, \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n = 0, \lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0$ (a > 1) より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n-1} + 3^n + n^2}{2^n + 4^n + n^3} = \frac{1/2 + 0 + 0}{0 + 1 + 0} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} (\frac{\tanh x}{x})^{\frac{1}{x^2}}$

$\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x(e^x + e^{-x})}$

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x + e^{-x} + x(e^x - e^{-x})} = \frac{2}{2 + 0} = 1$

与式は $1^{\infty}$ の不定形なので、指数関数の形に変形する。

$y = (\frac{\tanh x}{x})^{\frac{1}{x^2}}$

$\ln y = \frac{1}{x^2} \ln (\frac{\tanh x}{x})$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (\frac{\tanh x}{x})}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1$ より、$\ln 1 = 0$, $0/0$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\tanh x} \cdot \frac{x \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} - \tanh x}{x^2}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\cosh^2 x} - \tanh x}{2x^3 \cdot \frac{\tanh x}{x}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\cosh^2 x} - \tanh x}{2x^3}$

$\tanh x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$, $\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

$\frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - x^2 + O(x^4)$

$\frac{x}{\cosh^2 x} = x - x^3 + O(x^5)$

$\lim_{x \to 0} \frac{x - x^3 - (x - \frac{x^3}{3})}{2x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2}{3}x^3}{2x^3} = -\frac{1}{3}$

$\lim_{x \to 0} \ln y = -\frac{1}{3}$ より、 $\lim_{x \to 0} y = e^{-\frac{1}{3}}$

**(3) マクローリン展開**

(1) $\log(1 - 5x + 6x^2)$

$\log(1 - 5x + 6x^2) = \log((1-2x)(1-3x)) = \log(1-2x) + \log(1-3x)$

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$

$\log(1-2x) = -2x - \frac{(2x)^2}{2} - \frac{(2x)^3}{3} - \dots = -2x - 2x^2 - \frac{8}{3}x^3 - \dots$

$\log(1-3x) = -3x - \frac{(3x)^2}{2} - \frac{(3x)^3}{3} - \dots = -3x - \frac{9}{2}x^2 - 9x^3 - \dots$

$\log(1 - 5x + 6x^2) = -5x - \frac{13}{2}x^2 - \frac{35}{3}x^3 - \dots$

(2) $\cosh 3x$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\cosh 3x = \frac{e^{3x} + e^{-3x}}{2}$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$e^{3x} = 1 + 3x + \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^3}{3!} + \dots = 1 + 3x + \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{6}x^3 + \dots$

$e^{-3x} = 1 - 3x + \frac{(-3x)^2}{2!} + \frac{(-3x)^3}{3!} + \dots = 1 - 3x + \frac{9}{2}x^2 - \frac{27}{6}x^3 + \dots$

$\cosh 3x = \frac{1}{2} (2 + 2 \cdot \frac{9}{2}x^2 + 2 \cdot \frac{27}{6} x^4 + \dots) = 1 + \frac{9}{2}x^2 + \frac{81}{24}x^4 + \dots = 1 + \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4 + \dots$

**(4) 定積分と不定積分**

(1) $\int_{-2\sqrt{3}}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} dx$

$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$

$\int \frac{1}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C$

$\int_{-2\sqrt{3}}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} [\arctan \frac{x}{2}]_{-2\sqrt{3}}^{2} = \frac{1}{2} (\arctan 1 - \arctan (-\sqrt{3})) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{3})) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7\pi}{12} = \frac{7\pi}{24}$

(2) $\int \frac{\tan x}{2 + \cos x} dx$

$u = 2 + \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$

$\int \frac{\tan x}{2 + \cos x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x (2 + \cos x)} dx = \int \frac{-du}{(u-2) u}$

$\frac{1}{(u-2)u} = \frac{A}{u-2} + \frac{B}{u}$ より、 $A = \frac{1}{2}$, $B = -\frac{1}{2}$

$\int \frac{-du}{(u-2) u} = -\frac{1}{2} \int (\frac{1}{u-2} - \frac{1}{u}) du = -\frac{1}{2} (\ln |u-2| - \ln |u|) + C = -\frac{1}{2} \ln |\frac{u-2}{u}| + C$

$=-\frac{1}{2} \ln |\frac{\cos x}{\cos x + 2}| + C$

**(5) 広義積分**

$\int_0^\infty x e^{-2x} dx$

部分積分を行う。

$u = x$, $dv = e^{-2x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$

$\int x e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \int -\frac{1}{2}e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$

$\int_0^\infty x e^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}]_0^t = \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t} - (0 - \frac{1}{4})) = 0 - 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

**(6) 極限**

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2n^2 - k^2}}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2n^2 - k^2}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n\sqrt{2 - (\frac{k}{n})^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 - (\frac{k}{n})^2}}$

これは積分で表すことができる。

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2(1 - \frac{x^2}{2})}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{\sqrt{2}})^2}} dx$

$u = \frac{x}{\sqrt{2}}$, $du = \frac{1}{\sqrt{2}} dx$

$\frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - u^2}} du = [\arcsin u]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{4}$

**(7) 面積**

$r = \cos^2 \theta \sin \theta, (0 \le \theta \le \frac{\pi}{2})$

$S = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} r^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 \theta \sin \theta)^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 \theta \sin^2 \theta d\theta$

$S = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 \theta (1 - \cos^2 \theta) d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^4 \theta - \cos^6 \theta) d\theta$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \dots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$ (nが偶数)

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 \theta d\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^6 \theta d\theta = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{32}$

$S = \frac{1}{2} (\frac{3\pi}{16} - \frac{5\pi}{32}) = \frac{1}{2} \frac{\pi}{32} = \frac{\pi}{64}$

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3. 最終的な答え

(1) 微分

(1) $y' = \sin^3 x + 3x \sin^2 x \cos x$

(2) $y' = -\frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)}}$

(3) $y' = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} - \frac{3x}{2(x-1)\sqrt{(x-1)(x+2)}}$

(2) 極限

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $e^{-\frac{1}{3}}$

(3) マクローリン展開

(1) $-5x - \frac{13}{2}x^2 - \frac{35}{3}x^3 - \dots$

(2) $1 + \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4 + \dots$

(4) 定積分と不定積分

(1) $\frac{7\pi}{24}$

(2) $-\frac{1}{2} \ln |\frac{\cos x}{\cos x + 2}| + C$

(5) 広義積分

$\frac{1}{4}$

(6) 極限

$\frac{\pi}{4}$

(7) 面積

$\frac{\pi}{64}$