関数 $y = x^2 \cos x$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。

## 問題3の解答

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 \cos x$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を用いて解く。

ライプニッツの公式とは、$n$回微分を$(uv)^{(n)}$と表す時、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

である。

ここで、$u = x^2$, $v = \cos x$ とおく。

$u$ の微分を計算する。

$u' = 2x$

$u'' = 2$

$u^{(k)} = 0$ for $k \ge 3$

$v$ の微分を計算する。

$v = \cos x$

$v' = -\sin x = \cos(x + \frac{\pi}{2})$

$v'' = -\cos x = \cos(x + \pi)$

$v''' = \sin x = \cos(x + \frac{3\pi}{2})$

$v^{(k)} = \cos(x + \frac{k\pi}{2})$

よって、

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

$= {}_n C_0 u^{(n)} v + {}_n C_1 u^{(n-1)} v' + {}_n C_2 u^{(n-2)} v'' + ... + {}_n C_n u v^{(n)}$

$u^{(k)}$は$k \ge 3$で0になるので、$n-k \le 2$となるkのみ計算すればよい。つまり、$n-2 \le k \le n$。

$k$の定義域より、$0 \le k \le 2$で考える。

したがって、$n \ge 3$のとき、

$y^{(n)} = {}_n C_{n-0} u^{(0)} v^{(n)} + {}_n C_{n-1} u^{(1)} v^{(n-1)} + {}_n C_{n-2} u^{(2)} v^{(n-2)}$

$= {}_n C_n x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + {}_n C_{n-1} 2x \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + {}_n C_{n-2} 2 \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$= x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cdot 2x \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$= x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$