関数 $y = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln \left( \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x \right)$

$\ln y = \ln \left( \left( \frac{x+2}{x-1} \right)^{\frac{1}{2}} \cdot x \right)$

$\ln y = \ln \left( \frac{x+2}{x-1} \right)^{\frac{1}{2}} + \ln x$

$\ln y = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x+2}{x-1} \right) + \ln x$

$\ln y = \frac{1}{2} \left( \ln(x+2) - \ln(x-1) \right) + \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-1} \right) + \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{(x-1) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \right) + \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-3}{(x+2)(x-1)} \right) + \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-3}{2(x+2)(x-1)} + \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-3x + 2(x+2)(x-1)}{2x(x+2)(x-1)}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-3x + 2(x^2 + x - 2)}{2x(x+2)(x-1)}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-3x + 2x^2 + 2x - 4}{2x(x+2)(x-1)}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - x - 4}{2x(x+2)(x-1)}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2x^2 - x - 4}{2x(x+2)(x-1)}$

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x \cdot \frac{2x^2 - x - 4}{2x(x+2)(x-1)}$

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot \frac{2x^2 - x - 4}{2(x+2)(x-1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - x - 4}{2(x+2)^{\frac{1}{2}} (x-1)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - x - 4}{2\sqrt{x+2}(x-1)\sqrt{x-1}}$

または

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2-x-4}{2(x+2)^{\frac{1}{2}}(x-1)^{\frac{3}{2}}}$

または

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - x - 4}{2 (x+2)\sqrt{\frac{x-1}{(x+2)^3}}}$

など