$\int \frac{\tan x}{2 + \cos x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \frac{\tan x}{2 + \cos x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、積分を書き換えます。

$\int \frac{\tan x}{2 + \cos x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x (2 + \cos x)} dx$

ここで、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sin x}{\cos x (2 + \cos x)} dx = \int \frac{-du}{u(2+u)} = -\int \frac{1}{u(2+u)} du$

次に、$\frac{1}{u(2+u)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{u(2+u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{2+u}$

$1 = A(2+u) + Bu$

$u = 0$ のとき、$1 = 2A$, よって $A = \frac{1}{2}$

$u = -2$ のとき、$1 = -2B$, よって $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{u(2+u)} = \frac{1}{2u} - \frac{1}{2(2+u)}$

積分は次のようになります。

$-\int \frac{1}{u(2+u)} du = -\int \left(\frac{1}{2u} - \frac{1}{2(2+u)}\right) du = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{u} du + \frac{1}{2}\int \frac{1}{2+u} du$

$= -\frac{1}{2} \ln|u| + \frac{1}{2} \ln|2+u| + C$

$= \frac{1}{2} \ln\left|\frac{2+u}{u}\right| + C$

$u = \cos x$ を代入すると、

$\frac{1}{2} \ln\left|\frac{2+\cos x}{\cos x}\right| + C = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{2}{\cos x} + 1\right| + C = \frac{1}{2} \ln|2\sec x + 1| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln|2\sec x + 1| + C$