$\lim_{t \to 0} \frac{1 + \cos{(t + \pi)}}{t^2}$ と書き換えられます。

## 問題8の内容

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos{x}}{(x - \pi)^2}$ を計算します。

## 解き方の手順

1. $x - \pi = t$ と置換します。すると、$x = t + \pi$ となり、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$ となります。与式は、

$\lim_{t \to 0} \frac{1 + \cos{(t + \pi)}}{t^2}$

と書き換えられます。

2. $\cos{(t + \pi)} = \cos{t}\cos{\pi} - \sin{t}\sin{\pi} = -\cos{t}$ より、

$\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos{t}}{t^2}$

となります。

3. ここで、$1 - \cos{t} = 2\sin^2{\frac{t}{2}}$ であることを利用すると、

$\lim_{t \to 0} \frac{2\sin^2{\frac{t}{2}}}{t^2}$

となります。

4. $\lim_{t \to 0} \frac{\sin{t}}{t} = 1$ を利用するために、式を以下のように変形します。

$\lim_{t \to 0} \frac{2\sin^2{\frac{t}{2}}}{t^2} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{t}{2}}}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{t}{2}}}{t} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{t}{2}}}{2\frac{t}{2}} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{t}{2}}}{2\frac{t}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{4} \lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{t}{2}}}{\frac{t}{2}} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{t}{2}}}{\frac{t}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{t}{2}}}{\frac{t}{2}} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{t}{2}}}{\frac{t}{2}}$

5. $\lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{t}{2}}}{\frac{t}{2}} = 1$ より、

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

となります。

## 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## 問題9の内容

$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x \log x}$ を計算します。

## 解き方の手順

1. $y = x \log x$ とおくと、与えられた極限は $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{y}$ となります。

2. まず、$\lim_{x \to 0^+} x \log x$ を計算します。これは不定形 $0 \cdot (-\infty)$ なので、$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$ と書き換えます。

3. ここで、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$

となります。

4. したがって、$\lim_{x \to 0^+} x \log x = 0$ です。

5. よって、$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x \log x} = \sqrt{0} = 0$ です。

## 最終的な答え

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