次の関数のマクローリン展開を求めます。収束半径は示さなくてもよいです。 (1) $cos(3x)$ (2) $\frac{1}{2+x}$

1. 問題の内容

次の関数のマクローリン展開を求めます。収束半径は示さなくてもよいです。

(1) $cos(3x)$

(2) $\frac{1}{2+x}$

2. 解き方の手順

(1) $cos(3x)$ のマクローリン展開を求めます。

$cos(x)$ のマクローリン展開は

$cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$

なので、$cos(3x)$のマクローリン展開は、上記の$x$を$3x$に置き換えることで求められます。

$cos(3x) = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^4}{4!} - \frac{(3x)^6}{6!} + ...$

問題文では、収束半径は示さなくてもよいと指示されているので、この式を展開して求めます。

(2) $\frac{1}{2+x}$ のマクローリン展開を求めます。

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$

という展開式を利用するために、

$\frac{1}{2+x} = \frac{1}{2(1+\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{x}{2})}$

と変形します。

$\frac{1}{1-(-\frac{x}{2})}$ に上記の展開式を適用すると、

$\frac{1}{1-(-\frac{x}{2})} = 1 + (-\frac{x}{2}) + (-\frac{x}{2})^2 + (-\frac{x}{2})^3 + ...$

$\frac{1}{2+x} = \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{8} + ...)$

3. 最終的な答え

(1) $cos(3x)$のマクローリン展開は、

$cos(3x) = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24} - ... = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{27x^4}{8} - ...$

(2) $\frac{1}{2+x}$のマクローリン展開は、

$\frac{1}{2+x} = \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} + ...$