関数 $z = xy$ の点 $(1, 0, 0)$ における接平面を求めます。

## (3) z = xy の点 (1, 0, 0) における接平面

1. 問題の内容

関数 $z = xy$ の点 $(1, 0, 0)$ における接平面を求めます。

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、次の式で与えられます。

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、$(x_0, y_0, z_0)$ は接点であり、$f_x$ と $f_y$ はそれぞれ $x$ と $y$ に関する偏微分です。

まず、与えられた関数 $z = f(x, y) = xy$ を偏微分します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (xy) = y$

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (xy) = x$

次に、接点 $(1, 0)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, 0) = 0$

$f_y(1, 0) = 1$

最後に、接平面の方程式を求めます。

$z - 0 = 0(x - 1) + 1(y - 0)$

$z = y$

3. 最終的な答え

接平面の方程式は $z = y$ です。

## (4) $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 1, \sqrt{2})$ における接平面

1. 問題の内容

関数 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 1, \sqrt{2})$ における接平面を求めます。

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、次の式で与えられます。

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、$(x_0, y_0, z_0)$ は接点であり、$f_x$ と $f_y$ はそれぞれ $x$ と $y$ に関する偏微分です。

まず、与えられた関数 $z = f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ を偏微分します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

次に、接点 $(1, 1)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$f_y(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

最後に、接平面の方程式を求めます。

$z - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - 1) + \frac{1}{\sqrt{2}}(y - 1)$

$\sqrt{2}z - 2 = x - 1 + y - 1$

$x + y - \sqrt{2}z = 0$

3. 最終的な答え

接平面の方程式は $x + y - \sqrt{2}z = 0$ です。

## (5) $z = 4\arctan(\frac{y}{x})$ の点 $(1, -1, -\pi)$ における接平面

1. 問題の内容

関数 $z = 4\arctan(\frac{y}{x})$ の点 $(1, -1, -\pi)$ における接平面を求めます。

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、次の式で与えられます。

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、$(x_0, y_0, z_0)$ は接点であり、$f_x$ と $f_y$ はそれぞれ $x$ と $y$ に関する偏微分です。

まず、与えられた関数 $z = f(x, y) = 4\arctan(\frac{y}{x})$ を偏微分します。

$\frac{d}{du} \arctan(u) = \frac{1}{1+u^2}$を利用します。

$f_x(x, y) = 4 \cdot \frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{4y}{x^2+y^2}$

$f_y(x, y) = 4 \cdot \frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{4x}{x^2+y^2}$

次に、接点 $(1, -1)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, -1) = -\frac{4(-1)}{1^2 + (-1)^2} = \frac{4}{2} = 2$

$f_y(1, -1) = \frac{4(1)}{1^2 + (-1)^2} = \frac{4}{2} = 2$

最後に、接平面の方程式を求めます。

$z - (-\pi) = 2(x - 1) + 2(y - (-1))$

$z + \pi = 2x - 2 + 2y + 2$

$z = 2x + 2y - \pi$

3. 最終的な答え

接平面の方程式は $z = 2x + 2y - \pi$ です。