次の2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

1. 問題の内容

次の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x}$

$\sin^{-1}x = y$ とおくと、$x = \sin y$ であり、$x \to 0$ のとき $y \to 0$ となる。

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{\sin y} = \lim_{y\to 0} \frac{1}{\frac{\sin y}{y}} = \frac{1}{1} = 1$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

$\tan^{-1}x = y$ とおくと、$x = \tan y$ であり、$x \to 0$ のとき $y \to 0$ となる。

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{\tan y} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{\frac{\sin y}{\cos y}} = \lim_{y\to 0} \frac{y\cos y}{\sin y} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{\sin y} \cdot \cos y = 1 \cdot 1 = 1$

別の解法として、ロピタルの定理を使うこともできます。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x}$

分子の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$、分母の微分は $1$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

分子の微分は $\frac{1}{1+x^2}$、分母の微分は $1$

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \frac{1}{1+0} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1