与えられた積分を微分する問題です。微分積分学の基本定理と合成関数の微分を利用して、$f(x)$と$f'(x)$を用いて表します。具体的には以下の3つの問題を解きます。 1) $\frac{d}{dx}\int_{1-x}^{1+2x} f(t) dt$ 2) $\frac{d}{dx}\int_{-x}^{0} f(t+x) dt$ 3) $\frac{d}{dx}\int_{1+2x}^{1+3x} f(x) dt$

1. 問題の内容

与えられた積分を微分する問題です。微分積分学の基本定理と合成関数の微分を利用して、$f(x)$と$f'(x)$を用いて表します。具体的には以下の3つの問題を解きます。

1) $\frac{d}{dx}\int_{1-x}^{1+2x} f(t) dt$

2) $\frac{d}{dx}\int_{-x}^{0} f(t+x) dt$

3) $\frac{d}{dx}\int_{1+2x}^{1+3x} f(x) dt$

2. 解き方の手順

1) $\frac{d}{dx}\int_{1-x}^{1+2x} f(t) dt$

微分積分学の基本定理と合成関数の微分を利用します。

$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x))\cdot b'(x) - f(a(x))\cdot a'(x)$

この問題では、$a(x) = 1-x$、$b(x) = 1+2x$なので、$a'(x) = -1$、$b'(x) = 2$となります。

したがって、

$\frac{d}{dx}\int_{1-x}^{1+2x} f(t) dt = f(1+2x)\cdot 2 - f(1-x)\cdot(-1) = 2f(1+2x) + f(1-x)$

2) $\frac{d}{dx}\int_{-x}^{0} f(t+x) dt$

まず、$u=t+x$と置換します。すると、$t=-x$のとき$u=0$、$t=0$のとき$u=x$となり、$dt = du$です。

よって、

$\int_{-x}^{0} f(t+x) dt = \int_{0}^{x} f(u) du$

したがって、

$\frac{d}{dx}\int_{-x}^{0} f(t+x) dt = \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} f(u) du = f(x)$

3) $\frac{d}{dx}\int_{1+2x}^{1+3x} f(x) dt$

この問題は被積分関数が $f(x)$ であることに注意する必要があります。$t$ に関する積分なので、$f(x)$ は定数として扱われます。

$\int_{1+2x}^{1+3x} f(x) dt = f(x) \int_{1+2x}^{1+3x} dt = f(x) [t]_{1+2x}^{1+3x} = f(x)((1+3x) - (1+2x)) = f(x)x$

したがって、

$\frac{d}{dx}\int_{1+2x}^{1+3x} f(x) dt = \frac{d}{dx} (xf(x)) = f(x) + xf'(x)$

3. 最終的な答え

1) $2f(1+2x) + f(1-x)$

2) $f(x)$

3) $f(x) + xf'(x)$