以下の4つの式の近似値を求めます。 (1) $\sqrt[3]{1.006}$ (2) $1.07^2$ (3) $3.06^2$ (4) $\frac{1}{1.003}$

1. 問題の内容

以下の4つの式の近似値を求めます。

(1) $\sqrt[3]{1.006}$

(2) $1.07^2$

(3) $3.06^2$

(4) $\frac{1}{1.003}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[3]{1.006}$ の近似値を求める。

$f(x) = \sqrt[3]{x}$ とすると、$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$。

$a = 1$ とすると、$f(1) = 1$、$f'(1) = \frac{1}{3}$。

したがって、

$f(1.006) \approx f(1) + f'(1)(1.006 - 1) = 1 + \frac{1}{3}(0.006) = 1 + 0.002 = 1.002$

(2) $1.07^2$ の近似値を求める。

$(1.07)^2 = (1 + 0.07)^2 = 1^2 + 2(1)(0.07) + (0.07)^2 = 1 + 0.14 + 0.0049 = 1.1449$

近似値としては、$(1.07)^2 \approx 1.14$

(3) $3.06^2$ の近似値を求める。

$(3.06)^2 = (3 + 0.06)^2 = 3^2 + 2(3)(0.06) + (0.06)^2 = 9 + 0.36 + 0.0036 = 9.3636$

近似値としては、$(3.06)^2 \approx 9.36$

(4) $\frac{1}{1.003}$ の近似値を求める。

$f(x) = \frac{1}{x}$ とすると、$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$。

$a = 1$ とすると、$f(1) = 1$、$f'(1) = -1$。

したがって、

$f(1.003) \approx f(1) + f'(1)(1.003 - 1) = 1 + (-1)(0.003) = 1 - 0.003 = 0.997$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[3]{1.006} \approx 1.002$

(2) $1.07^2 \approx 1.14$

(3) $3.06^2 \approx 9.36$

(4) $\frac{1}{1.003} \approx 0.997$