$\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x} - \sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{x - (x+1)} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$

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1. 問題の内容

以下の3つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx$

(3) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1) \, dx$

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2. 解き方の手順

**(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$**

1. 分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x} - \sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{x - (x+1)} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$

2. 積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) \, dx = \int_{0}^{1} ((x+1)^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) \, dx$

$= \left[ \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1}$

$= \left( \frac{2}{3}(1+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} \right) - \left( \frac{2}{3}(0+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}} \right)$

$= \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3}$

**(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx$**

1. 積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

2. 積分範囲を代入します。

$= \frac{1}{2} \sin (2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 0) = \frac{1}{2} \sin \pi - \frac{1}{2} \sin 0 = \frac{1}{2}(0) - \frac{1}{2}(0) = 0$

**(3) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1) \, dx$**

1. 積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1) \, dx = \left[ \frac{1}{3} e^{3x} - x \right]_{0}^{1}$

2. 積分範囲を代入します。

$= \left( \frac{1}{3} e^{3(1)} - 1 \right) - \left( \frac{1}{3} e^{3(0)} - 0 \right) = \frac{1}{3}e^3 - 1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}e^3 - \frac{4}{3}$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{4\sqrt{2} - 4}{3}$

(2) $0$

(3) $\frac{e^3 - 4}{3}$