$z = g(y)$, $y = f(x)$ で、$f$と$g$がともに2回微分可能であるとき、次の式が成り立つことを示します。 $$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$$

1. 問題の内容

$z = g(y)$, $y = f(x)$ で、$f$と$g$がともに2回微分可能であるとき、次の式が成り立つことを示します。

$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$$

2. 解き方の手順

まず、$z$を$x$で1回微分します。$z$は$y$の関数、$y$は$x$の関数なので、合成関数の微分公式を使います。

$$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$$

次に、$\frac{dz}{dx}$を$x$で微分します。ここで、$\frac{dz}{dy}$は$y$の関数なので、積の微分と合成関数の微分を用いる必要があります。

$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx} \right)$$

$$= \frac{d}{dx} \left( \frac{dz}{dy} \right) \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dy} \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)$$

$$= \frac{d}{dy} \left( \frac{dz}{dy} \right) \frac{dy}{dx} \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$$

$$= \frac{d^2z}{dy^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$$

よって、与えられた式が成り立つことが示されました。