画像の問題は、以下の３つのタイプに分かれています。 * 関数の3次近似式を求める。 * 関数のマクローリン展開の、0でない最初の3項を求める。 * 関数のマクローリン展開の、$n$次の項の係数を求める。 今回は、(13) $x\sin(3x)$、(14) $-\log(1-x)$、(15) $(x+1)\log(x+1)$、(16) $\sin(x^3)$、(17) $(x^2+2)e^x, n=5$、(18) $\frac{x}{(1-x)^{2/3}}, n=100$ について解答します。

1. 問題の内容

画像の問題は、以下の３つのタイプに分かれています。

* 関数の3次近似式を求める。

* 関数のマクローリン展開の、0でない最初の3項を求める。

* 関数のマクローリン展開の、$n$次の項の係数を求める。

今回は、(13) $x\sin(3x)$、(14) $-\log(1-x)$、(15) $(x+1)\log(x+1)$、(16) $\sin(x^3)$、(17) $(x^2+2)e^x, n=5$、(18) $\frac{x}{(1-x)^{2/3}}, n=100$ について解答します。

2. 解き方の手順

(13) $x\sin(3x)$の3次近似式

$\sin x$のマクローリン展開は以下の通りです。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

したがって、$\sin(3x)$のマクローリン展開は、

$\sin(3x) = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \dots = 3x - \frac{27x^3}{6} + \dots = 3x - \frac{9x^3}{2} + \dots$

$x\sin(3x)$は、

$x\sin(3x) = x(3x - \frac{9x^3}{2} + \dots) = 3x^2 - \frac{9x^4}{2} + \dots$

3次近似式なので、3次以下の項のみを残すと、$3x^2$となります。

(14) $-\log(1-x)$の3次近似式

$\log(1+x)$のマクローリン展開は以下の通りです。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

したがって、$\log(1-x)$のマクローリン展開は、

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$

$-\log(1-x)$は、

$-\log(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots$

(15) $(x+1)\log(x+1)$ の0でない最初の3項

$u = x+1$とおくと、

$(x+1)\log(x+1) = u\log u = u\log(1+(u-1))$

$\log(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$ より

$\log(1+(u-1)) = (u-1)-\frac{(u-1)^2}{2}+\frac{(u-1)^3}{3}-\dots$

$u\log u = u((u-1)-\frac{(u-1)^2}{2}+\frac{(u-1)^3}{3}-\dots)$

$=u^2-u-\frac{u^3-2u^2+u}{2}+\frac{u^4-3u^3+3u^2-u}{3}-\dots$

$=(x+1)^2-(x+1)-\frac{(x+1)^3-2(x+1)^2+(x+1)}{2}+\dots$

$=x^2+2x+1-x-1-\frac{x^3+3x^2+3x+1-2x^2-4x-2+x+1}{2}+\dots$

$=x^2+x-\frac{x^3+x^2}{2}+\dots$

$=x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6}(x+1)^3 + \frac{1}{12}(x+1)^4 +\dots$

$= x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}+\dots$

したがって、$(x+1)\log(x+1)$の最初の3項は、$x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}$

(16) $\sin(x^3)$の0でない最初の3項

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\sin(x^3) = x^3 - \frac{(x^3)^3}{3!} + \frac{(x^3)^5}{5!} - \dots = x^3 - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{15}}{120} - \dots$

最初の3項は、$x^3 - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{15}}{120}$となるはずですが、最初の0でない３項なので、最初の３つの項は $x^3, -\frac{x^9}{6}, \frac{x^{15}}{120}$です。

(17) $(x^2+2)e^x$の$n=5$の係数

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$(x^2+2)e^x = (x^2+2)\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!} + 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$x^5$の係数を求める。

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$において、$n+2 = 5$, つまり $n=3$の時、係数は$\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$

$2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$において、$n=5$の時、係数は$\frac{2}{5!} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$

したがって、$x^5$の係数は、$\frac{1}{6} + \frac{1}{60} = \frac{10+1}{60} = \frac{11}{60}$

(18) $\frac{x}{(1-x)^{2/3}}$の$n=100$の係数

$(1-x)^{-2/3} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-2/3}{n} (-x)^n$

$\frac{x}{(1-x)^{2/3}} = x \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-2/3}{n} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-2/3}{n} (-1)^n x^{n+1}$

$n+1 = 100$の時、つまり$n = 99$

係数は$\binom{-2/3}{99} (-1)^{99} = -\binom{-2/3}{99}$

$\binom{-2/3}{n} = \frac{(-2/3)(-2/3 - 1) \dots (-2/3 - (n-1))}{n!} = \frac{(-2/3)(-5/3) \dots (\frac{-2-3n+3}{3})}{n!} = \frac{(-2/3)(-5/3) \dots (\frac{1-3n}{3})}{n!} = \frac{(-1)^n(2 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (3n-1))}{3^n n!}$

$-\binom{-2/3}{99} = - \frac{(-1)^{99}(2 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (3\cdot 99-1))}{3^{99} 99!} = \frac{2 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 296}{3^{99} 99!}$

3. 最終的な答え

(13) $3x^2$

(14) $x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

(15) $x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}$

(16) $x^3 - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{15}}{120}$

(17) $\frac{11}{60}$

(18) $\frac{2 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 296}{3^{99} 99!}$