## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

5.(1) $\int \frac{x+2}{x^2+x+1} dx$ を計算する。

5.(2) $\frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$ を満たす定数 $a, b, c$ の値を求める。

5.(3) $\int \frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)} dx$ を計算する。

6.(1) $\int \frac{1}{1-\sin x} dx$ を計算する。

6.(2) $\int \frac{\sin x}{1-\sin x} dx$ を計算する。

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2. 解き方の手順

**5.(1)**

分母を平方完成させることを考える。

$x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

分子を $x + \frac{1}{2}$ を含む形に変形する。

$x + 2 = (x + \frac{1}{2}) + \frac{3}{2}$

よって、

$\int \frac{x+2}{x^2+x+1} dx = \int \frac{x+\frac{1}{2}}{x^2+x+1} dx + \int \frac{\frac{3}{2}}{x^2+x+1} dx$

$u = x^2 + x + 1$ と置換すると、$du = (2x+1)dx = 2(x+\frac{1}{2})dx$ より、

$\int \frac{x+\frac{1}{2}}{x^2+x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln |u| = \frac{1}{2} \ln (x^2+x+1)$

$\int \frac{1}{x^2+x+1} dx = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$

したがって、

$\int \frac{x+2}{x^2+x+1} dx = \frac{1}{2} \ln (x^2+x+1) + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{2} \ln (x^2+x+1) + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$

**5.(2)**

$\frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$

両辺に $(x-1)(x^2+x+1)$ を掛けると、

$1 = a(x^2+x+1) + (bx+c)(x-1) = ax^2+ax+a+bx^2-bx+cx-c = (a+b)x^2 + (a-b+c)x + (a-c)$

係数を比較すると、

$a+b=0, a-b+c=0, a-c=1$

$a+b=0$ より $b=-a$。

$a-b+c=0$ に代入すると、$a-(-a)+c=0$ より、$2a+c=0$。

$a-c=1$と$2a+c=0$を足し合わせると、$3a=1$より$a=\frac{1}{3}$。

$b=-a$より$b=-\frac{1}{3}$。

$a-c=1$より$c=a-1=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$。

したがって、$a = \frac{1}{3}, b = -\frac{1}{3}, c = -\frac{2}{3}$

**5.(3)**

5.(2)の結果を使うと、

$\int \frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)} dx = \int \frac{\frac{1}{3}}{x-1} dx + \int \frac{-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}}{x^2+x+1} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{x+2}{x^2+x+1} dx$

5.(1)の結果を使うと、

$= \frac{1}{3} \ln |x-1| - \frac{1}{3} [\frac{1}{2} \ln (x^2+x+1) + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})]$

$= \frac{1}{3} \ln |x-1| - \frac{1}{6} \ln (x^2+x+1) - \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$

$= \frac{1}{6} (2 \ln |x-1| - \ln (x^2+x+1)) - \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$

$= \frac{1}{6} \ln \frac{(x-1)^2}{x^2+x+1} - \frac{1}{3 \sqrt{3}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$

**6.(1)**

$\int \frac{1}{1-\sin x} dx = \int \frac{1+\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} dx = \int \frac{1+\sin x}{1-\sin^2 x} dx = \int \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} dx = \int (\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x}) dx$

$= \int \sec^2 x dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \tan x + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$

$u = \cos x$と置換すると、$du = -\sin x dx$より

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-du}{u^2} = \frac{1}{u} = \frac{1}{\cos x}$

よって、

$\int \frac{1}{1-\sin x} dx = \tan x + \frac{1}{\cos x}$

**6.(2)**

$\int \frac{\sin x}{1-\sin x} dx = \int \frac{\sin x -1 + 1}{1-\sin x} dx = \int (-1 + \frac{1}{1-\sin x}) dx = \int -1 dx + \int \frac{1}{1-\sin x} dx$

$= -x + \tan x + \frac{1}{\cos x}$

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3. 最終的な答え

5.(1) $\frac{1}{2} \ln (x^2+x+1) + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$

5.(2) $a = \frac{1}{3}, b = -\frac{1}{3}, c = -\frac{2}{3}$

5.(3) $\frac{1}{6} \ln \frac{(x-1)^2}{x^2+x+1} - \frac{1}{3 \sqrt{3}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$

6.(1) $\tan x + \frac{1}{\cos x}$

6.(2) $-x + \tan x + \frac{1}{\cos x}$