与えられた3つの関数について、それぞれ導関数を求めます。 1. $f(x) = \frac{(x+1)^3(x+2)^4}{(x^2+1)^3(x-1)^2}$

はい、承知いたしました。次の関数 $f(x)$ の導関数を求める問題ですね。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれ導関数を求めます。

1. $f(x) = \frac{(x+1)^3(x+2)^4}{(x^2+1)^3(x-1)^2}$

2. $f(x) = x^{\sin^{-1}x}$

3. $f(x) = (x-1)^2\tan^{-1}(x) - x + \log(1+x^2)$

2. 解き方の手順

3. $f(x) = \frac{(x+1)^3(x+2)^4}{(x^2+1)^3(x-1)^2}$ の導関数

この関数は、対数微分法を用いると簡単に計算できます。まず、両辺の自然対数を取ります。

$\log f(x) = \log \left( \frac{(x+1)^3(x+2)^4}{(x^2+1)^3(x-1)^2} \right)$

$\log f(x) = 3\log(x+1) + 4\log(x+2) - 3\log(x^2+1) - 2\log(x-1)$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x+2} - \frac{3(2x)}{x^2+1} - \frac{2}{x-1}$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x+2} - \frac{6x}{x^2+1} - \frac{2}{x-1}$

したがって、$f'(x)$ は次のようになります。

$f'(x) = f(x) \left( \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x+2} - \frac{6x}{x^2+1} - \frac{2}{x-1} \right)$

$f'(x) = \frac{(x+1)^3(x+2)^4}{(x^2+1)^3(x-1)^2} \left( \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x+2} - \frac{6x}{x^2+1} - \frac{2}{x-1} \right)$

2. $f(x) = x^{\sin^{-1}x}$ の導関数

これも対数微分法を使います。両辺の自然対数を取ります。

$\log f(x) = \log (x^{\sin^{-1}x})$

$\log f(x) = \sin^{-1}(x) \log(x)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \log(x) + \sin^{-1}(x) \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\log(x)}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1}(x)}{x}$

したがって、$f'(x)$ は次のようになります。

$f'(x) = f(x) \left( \frac{\log(x)}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1}(x)}{x} \right)$

$f'(x) = x^{\sin^{-1}x} \left( \frac{\log(x)}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1}(x)}{x} \right)$

3. $f(x) = (x-1)^2\tan^{-1}(x) - x + \log(1+x^2)$ の導関数

各項ごとに微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (x-1)^2\tan^{-1}(x) \right] - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx} \left[ \log(1+x^2) \right]$

積の微分公式より、

$\frac{d}{dx} \left[ (x-1)^2\tan^{-1}(x) \right] = 2(x-1)\tan^{-1}(x) + (x-1)^2 \cdot \frac{1}{1+x^2}$

また、

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

$\frac{d}{dx} \left[ \log(1+x^2) \right] = \frac{2x}{1+x^2}$

したがって、

$f'(x) = 2(x-1)\tan^{-1}(x) + \frac{(x-1)^2}{1+x^2} - 1 + \frac{2x}{1+x^2}$

$f'(x) = 2(x-1)\tan^{-1}(x) + \frac{x^2 - 2x + 1 + 2x}{1+x^2} - 1$

$f'(x) = 2(x-1)\tan^{-1}(x) + \frac{x^2+1}{1+x^2} - 1$

$f'(x) = 2(x-1)\tan^{-1}(x) + 1 - 1$

$f'(x) = 2(x-1)\tan^{-1}(x)$

3. 最終的な答え

1. $f'(x) = \frac{(x+1)^3(x+2)^4}{(x^2+1)^3(x-1)^2} \left( \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x+2} - \frac{6x}{x^2+1} - \frac{2}{x-1} \right)$

2. $f'(x) = x^{\sin^{-1}x} \left( \frac{\log(x)}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1}(x)}{x} \right)$

3. $f'(x) = 2(x-1)\tan^{-1}(x)$