関数 $y = \sqrt{1 + \sin{x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{1 + \sin{x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{1 + \sin{x}}$を $(1 + \sin{x})^{1/2}$と書き換えます。次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。

チェーンルールは、 $y = f(u)$ かつ $u = g(x)$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

この問題では、$y = u^{1/2}$ かつ $u = 1 + \sin{x}$ とおきます。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + \sin{x}) = \cos{x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \cos{x}$

$u = 1 + \sin{x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sin{x}}} \cdot \cos{x} = \frac{\cos{x}}{2\sqrt{1 + \sin{x}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos{x}}{2\sqrt{1 + \sin{x}}}$