与えられた集合について、上に有界であれば上限を、下に有界であれば下限を答える問題です。ただし、$a$ と $b$ は実数で、$a < b$ とします。与えられた集合は以下の通りです。 (1) 閉区間 $[a, b]$ (2) 開区間 $(a, b)$ (3) 区間 $[a, \infty)$ (4) 関数 $y = -x^2 + 2x + 3$ のとりうる値 (5) 関数 $y = x^3 - 1$ のとりうる値

1. 問題の内容

与えられた集合について、上に有界であれば上限を、下に有界であれば下限を答える問題です。ただし、$a$ と $b$ は実数で、$a < b$ とします。与えられた集合は以下の通りです。

(1) 閉区間 $[a, b]$

(2) 開区間 $(a, b)$

(3) 区間 $[a, \infty)$

(4) 関数 $y = -x^2 + 2x + 3$ のとりうる値

(5) 関数 $y = x^3 - 1$ のとりうる値

2. 解き方の手順

(1) 閉区間 $[a, b]$:

- 下に有界であり、下限は $a$ です。

- 上に有界であり、上限は $b$ です。

(2) 開区間 $(a, b)$:

- 下に有界であり、下限は $a$ です。

- 上に有界であり、上限は $b$ です。

(3) 区間 $[a, \infty)$:

- 下に有界であり、下限は $a$ です。

- 上に有界ではありません。上限は存在しません。

(4) 関数 $y = -x^2 + 2x + 3$ のとりうる値:

- この関数は上に凸な放物線です。

- 平方完成すると $y = -(x-1)^2 + 4$ となります。

- よって、最大値は $x=1$ のとき $y=4$ をとります。

- 上に有界であり、上限は $4$ です。

- 下に有界ではありません。下限は存在しません。

(5) 関数 $y = x^3 - 1$ のとりうる値:

- $x$ が任意の実数をとるので、$x$ が大きくなるにつれて $y$ も大きくなり、$x$ が小さくなるにつれて $y$ も小さくなります。

- よって、上に有界でも下に有界でもありません。上限も下限も存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 閉区間 $[a, b]$: 下限 $a$, 上限 $b$

(2) 開区間 $(a, b)$: 下限 $a$, 上限 $b$

(3) 区間 $[a, \infty)$: 下限 $a$, 上限なし

(4) 関数 $y = -x^2 + 2x + 3$: 下限なし, 上限 $4$

(5) 関数 $y = x^3 - 1$: 下限なし, 上限なし