2変数関数 $f(x, y) = \frac{xy^2}{2x^2 + y^2}$ の、$(x, y) \to (0, 0)$ における極限値を求めよ。

## 問題5の解答

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = \frac{xy^2}{2x^2 + y^2}$ の、$(x, y) \to (0, 0)$ における極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

極限の存在を調べるために、いくつかの経路に沿って $(0, 0)$ に近づけてみます。

(1) $x = 0$ に沿って近づく場合：

$f(0, y) = \frac{0 \cdot y^2}{2 \cdot 0^2 + y^2} = \frac{0}{y^2} = 0$ (ただし、$y \neq 0$)

したがって、$\lim_{y \to 0} f(0, y) = 0$

(2) $y = 0$ に沿って近づく場合：

$f(x, 0) = \frac{x \cdot 0^2}{2x^2 + 0^2} = \frac{0}{2x^2} = 0$ (ただし、$x \neq 0$)

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x, 0) = 0$

(3) $y = x$ に沿って近づく場合：

$f(x, x) = \frac{x \cdot x^2}{2x^2 + x^2} = \frac{x^3}{3x^2} = \frac{x}{3}$ (ただし、$x \neq 0$)

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x, x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{3} = 0$

(4) $x = ky$ に沿って近づく場合：

$f(ky, y) = \frac{ky \cdot y^2}{2(ky)^2 + y^2} = \frac{ky^3}{2k^2y^2 + y^2} = \frac{ky}{2k^2 + 1}$ (ただし、$y \neq 0$)

したがって、$\lim_{y \to 0} f(ky, y) = \lim_{y \to 0} \frac{ky}{2k^2 + 1} = 0$

これらの経路では全て 0 に収束していますが、これだけでは極限が存在すると断言できません。

別の経路でも確認してみます。

(5) $y^2 = ax^2$ に沿って近づく場合：

$f(x, y) = f(x, \sqrt{a}x) = \frac{x(\sqrt{a}x)^2}{2x^2 + (\sqrt{a}x)^2} = \frac{ax^3}{2x^2 + ax^2} = \frac{ax}{2+a}$

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x, \sqrt{a}x) = \lim_{x \to 0} \frac{ax}{2+a} = 0$

これらの経路だけでは極限値が0のように見えます。しかし、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ と極座標変換して計算してみます。

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\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy^2}{2x^2 + y^2} = \lim_{r \to 0} \frac{r\cos\theta \cdot (r\sin\theta)^2}{2(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2} = \lim_{r \to 0} \frac{r^3\cos\theta\sin^2\theta}{r^2(2\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \lim_{r \to 0} \frac{r\cos\theta\sin^2\theta}{2\cos^2\theta + \sin^2\theta}

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ここで、$2\cos^2\theta + \sin^2\theta = 2\cos^2\theta + (1-\cos^2\theta) = \cos^2\theta + 1$ なので、分母は常に1以上となります。

よって、

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\lim_{r \to 0} \frac{r\cos\theta\sin^2\theta}{\cos^2\theta + 1} = 0

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3. 最終的な答え

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy^2}{2x^2 + y^2} = 0$