2変数関数 $f(x, y) = \frac{xy^2}{2x^2 + y^2}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求める問題です。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = \frac{xy^2}{2x^2 + y^2}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

極限が存在するかどうか調べるために、様々な経路から $(0,0)$ に近づけてみます。

(1) $y = mx$ に沿って $(0, 0)$ に近づける場合 ($m$ は定数):

$x \to 0$ で $y = mx$ とすると、

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\lim_{x \to 0} \frac{x(mx)^2}{2x^2 + (mx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{m^2 x^3}{2x^2 + m^2 x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{m^2 x^3}{(2 + m^2) x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{m^2 x}{2 + m^2} = \frac{m^2 \cdot 0}{2 + m^2} = 0

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となります。

(2) $x = ky^2$ に沿って $(0, 0)$ に近づける場合 ($k$ は定数):

$y \to 0$ で $x = ky^2$ とすると、

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\lim_{y \to 0} \frac{(ky^2)y^2}{2(ky^2)^2 + y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{ky^4}{2k^2 y^4 + y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{ky^4}{(2k^2 y^2 + 1) y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{ky^2}{2k^2 y^2 + 1} = \frac{k \cdot 0}{2k^2 \cdot 0 + 1} = \frac{0}{1} = 0

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となります。

(3) 極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を用いる場合:

$r \to 0$ で $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とすると、

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\lim_{r \to 0} \frac{(r \cos \theta) (r \sin \theta)^2}{2(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2} = \lim_{r \to 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{2r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \lim_{r \to 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 (2 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = \lim_{r \to 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{2 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta}

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ここで $2 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = \cos^2 \theta + (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos^2 \theta + 1 \geq 1$ であるから、

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\left| \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{2 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta} \right| \le \left| \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{1} \right| \le |r|

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したがって、

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\lim_{r \to 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{2 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 0

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様々な経路で $(0, 0)$ に近づけたとき、極限値がすべて $0$ になるので、極限が存在すると予想できます。

3. 最終的な答え

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