関数 $f(x, y) = x^3 + x^2 - 6xy^2$ の極値をヘッセ行列を用いて求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^3 + x^2 - 6xy^2$ の極値をヘッセ行列を用いて求めます。

2. 解き方の手順

(1) 一階偏導関数を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 2x - 6y^2$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -12xy$

(2) 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解き、停留点を求めます。

$f_y = -12xy = 0$ より、$x = 0$ または $y = 0$ です。

(i) $x = 0$ のとき、$f_x = 3(0)^2 + 2(0) - 6y^2 = -6y^2 = 0$ となり、$y = 0$ です。

したがって、停留点 $(0, 0)$ が得られます。

(ii) $y = 0$ のとき、$f_x = 3x^2 + 2x - 6(0)^2 = 3x^2 + 2x = x(3x + 2) = 0$ となり、$x = 0$ または $x = -\frac{2}{3}$ です。

$x = 0$ の場合は、(i) で既に求めた $(0, 0)$ です。

$x = -\frac{2}{3}$ の場合、停留点 $(-\frac{2}{3}, 0)$ が得られます。

したがって、停留点は $(0, 0)$ と $(-\frac{2}{3}, 0)$ です。

(3) 二階偏導関数を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x + 2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -12x$

$f_{xy} = f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -12y$

(4) ヘッセ行列式 $D(x, y) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

$D(x, y) = (6x + 2)(-12x) - (-12y)^2 = -72x^2 - 24x - 144y^2$

(5) 各停留点におけるヘッセ行列式を評価します。

(i) $(0, 0)$ のとき、$D(0, 0) = -72(0)^2 - 24(0) - 144(0)^2 = 0$ となり、この点では判定できません。

(ii) $(-\frac{2}{3}, 0)$ のとき、$D(-\frac{2}{3}, 0) = -72(-\frac{2}{3})^2 - 24(-\frac{2}{3}) - 144(0)^2 = -72(\frac{4}{9}) + 16 = -32 + 16 = -16 < 0$ となり、鞍点です。

(6) $(0,0)$ の場合、原点近傍での関数の振る舞いを調べるために、関数の値を評価します。

$f(x, y) = x^3 + x^2 - 6xy^2$

$y=0$とすると、$f(x,0)=x^3+x^2$。$x$が正の小さな値の場合、$f(x,0)>0$。$x$が負の小さな値の場合、$f(x,0)>0$。

$x=0$とすると、$f(0,y)=0$。

$x=y$とすると、$f(x,x)=x^3+x^2-6x^3=x^2-5x^3$。$x$が正の小さな値の場合、$f(x,x)>0$。$x$が負の小さな値の場合、$f(x,x)>0$。

$x=-y$とすると、$f(x,-x)=x^3+x^2-6x^3=x^2-5x^3$。$x$が正の小さな値の場合、$f(x,-x)>0$。$x$が負の小さな値の場合、$f(x,-x)>0$。

原点の近くで$x$または$y$が変化すると、$f(x, y)$の値は正にも負にもなるため、$(0,0)$は鞍点です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x, y) = x^3 + x^2 - 6xy^2$ は、$(-\frac{2}{3}, 0)$ と $(0, 0)$ で鞍点を持ちます。極値は存在しません。