問題は、関数 $f(x) = e^x$ について、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $f(x)$ の3次のマクローリン展開を求める。 (2) (1)で求めたマクローリン展開を用いて、$e^{-0.3}$ の近似値を小数第3位まで求める。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x) = e^x$ について、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $f(x)$ の3次のマクローリン展開を求める。

(2) (1)で求めたマクローリン展開を用いて、$e^{-0.3}$ の近似値を小数第3位まで求める。

2. 解き方の手順

(1) マクローリン展開は、関数を原点（x=0）の周りで多項式として近似するものです。関数のn次のマクローリン展開は以下の式で表されます。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

今回の問題では、3次のマクローリン展開を求めるので、$n=3$となります。

まず、$f(x) = e^x$ の導関数を求めます。

$f'(x) = e^x$

$f''(x) = e^x$

$f'''(x) = e^x$

次に、それぞれの導関数に $x=0$ を代入します。

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(0) = e^0 = 1$

$f''(0) = e^0 = 1$

$f'''(0) = e^0 = 1$

これらの値をマクローリン展開の式に代入すると、以下のようになります。

$f(x) \approx 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3$

$f(x) \approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3$

(2) (1)で求めた3次のマクローリン展開を用いて、$e^{-0.3}$ の近似値を求めます。$f(x) = e^x$ なので、$x = -0.3$ を代入します。

$e^{-0.3} \approx 1 + (-0.3) + \frac{1}{2}(-0.3)^2 + \frac{1}{6}(-0.3)^3$

$e^{-0.3} \approx 1 - 0.3 + \frac{1}{2}(0.09) + \frac{1}{6}(-0.027)$

$e^{-0.3} \approx 1 - 0.3 + 0.045 - 0.0045$

$e^{-0.3} \approx 0.7405$

小数第4位を四捨五入して小数第3位まで求めると、0.741となります。

3. 最終的な答え

(1) $1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3$

(2) 0.741