$\lim_{x\to -1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x + 1} = 1$ が成り立つように、$a$, $b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to -1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x + 1} = 1$ が成り立つように、$a$, $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to -1$ のとき分母が $0$ になるので、極限が存在するためには分子も $0$ になる必要があります。したがって、$x=-1$ を分子に代入すると、$0$ になるはずです。

$a(-1)^2 + b(-1) + 2 = 0$

$a - b + 2 = 0$

$b = a + 2$

次に、 $b = a + 2$ を元の式に代入します。

$\lim_{x\to -1} \frac{ax^2 + (a+2)x + 2}{x + 1} = 1$

分子を因数分解することを考えます。分子は $x = -1$ を解に持つので、$(x+1)$ を因数に持つはずです。

$ax^2 + (a+2)x + 2 = (x+1)(ax+2)$

よって、

$\lim_{x\to -1} \frac{(x+1)(ax+2)}{x + 1} = 1$

$\lim_{x\to -1} (ax+2) = 1$

$a(-1) + 2 = 1$

$-a + 2 = 1$

$a = 1$

$b = a + 2$ より、

$b = 1 + 2 = 3$

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = 3$