与えられた曲線について、指定された点における接線を求める。問題は以下の2つです。 (1) $y = x \log x$ で、$x = 1$ における接線を求める。 (2) $y = \arctan \frac{x^2}{2}$ で、$x = \sqrt{2}$ における接線を求める。

1. 問題の内容

与えられた曲線について、指定された点における接線を求める。問題は以下の2つです。

(1) $y = x \log x$ で、$x = 1$ における接線を求める。

(2) $y = \arctan \frac{x^2}{2}$ で、$x = \sqrt{2}$ における接線を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = x \log x$ の場合:

まず、$y$ を $x$ で微分して $dy/dx$ を求めます。

積の微分法を用いると、

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\frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1

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次に、$x = 1$ における微分係数 (傾き) を求めます。

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\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=1} = \log 1 + 1 = 0 + 1 = 1

$$$$

$x = 1$ のとき、$y = 1 \cdot \log 1 = 1 \cdot 0 = 0$ であるので、接点の座標は $(1, 0)$ です。

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ であり、$m = 1$, $(x_1, y_1) = (1, 0)$ を代入すると、

$y - 0 = 1(x - 1)$

$y = x - 1$

(2) $y = \arctan \frac{x^2}{2}$ の場合:

まず、$y$ を $x$ で微分して $dy/dx$ を求めます。

合成関数の微分法を用いると、

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\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\frac{x^2}{2})^2} \cdot \frac{2x}{2} = \frac{x}{1 + \frac{x^4}{4}} = \frac{4x}{4 + x^4}

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次に、$x = \sqrt{2}$ における微分係数 (傾き) を求めます。

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\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{4 + (\sqrt{2})^4} = \frac{4\sqrt{2}}{4 + 4} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}

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$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = \arctan \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \arctan \frac{2}{2} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ であるので、接点の座標は $(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})$ です。

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ であり、$m = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $(x_1, y_1) = (\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})$ を代入すると、

$y - \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - \sqrt{2})$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2} + \frac{\pi}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - 1 + \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = x - 1$

(2) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - 1 + \frac{\pi}{4}$