原点をOとする$xy$平面上に、円弧$C: x^2 + y^2 = 1$ ($x \geq 0, y \geq 0$)がある。$C$上に点Aをとり、Aから$x$軸に下ろした垂線の足をHとする。線分OA上に$AP = OH$を満たす点Pをとる。ただし、Aが点(1,0)のときはP=O、Aが点(0,1)のときはP=Aとする。 (1) $\angle AOH = \theta$とおくとき、Pの座標を$\theta$を用いて表せ。ただし、Aが点(0,1)にあるときは、$\theta = \frac{\pi}{2}$とする。 (2) Aが$C$上を動くとき、Pがえがく曲線の概形をかけ。ただし、Pの$x$座標が最大となる点の座標を明記すること。 (3) (2)の曲線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

原点をOとする$xy$平面上に、円弧$C: x^2 + y^2 = 1$ ($x \geq 0, y \geq 0$)がある。$C$上に点Aをとり、Aから$x$軸に下ろした垂線の足をHとする。線分OA上に$AP = OH$を満たす点Pをとる。ただし、Aが点(1,0)のときはP=O、Aが点(0,1)のときはP=Aとする。

(1) $\angle AOH = \theta$とおくとき、Pの座標を$\theta$を用いて表せ。ただし、Aが点(0,1)にあるときは、$\theta = \frac{\pi}{2}$とする。

(2) Aが$C$上を動くとき、Pがえがく曲線の概形をかけ。ただし、Pの$x$座標が最大となる点の座標を明記すること。

(3) (2)の曲線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Aは円弧$C: x^2+y^2=1$上にあるので、$A(\cos\theta, \sin\theta)$と表せる。

点Hの座標は$(\cos\theta, 0)$なので、$OH = \cos\theta$である。

$AP = OH = \cos\theta$であり、$OA = 1$なので、$OP = OA - AP = 1 - \cos\theta$である。

点Pは線分OA上にあるので、$\vec{OP} = (1-\cos\theta) \vec{OA}$と表せる。

したがって、Pの座標は

$((1-\cos\theta) \cos\theta, (1-\cos\theta) \sin\theta)$となる。

(2)

Pの座標を$(x,y)$とすると、

$x = (1-\cos\theta)\cos\theta = \cos\theta - \cos^2\theta$

$y = (1-\cos\theta)\sin\theta = \sin\theta - \cos\theta\sin\theta$

$\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta + 2\cos\theta\sin\theta = \sin\theta(2\cos\theta - 1)$

$\frac{dx}{d\theta} = 0$ となるのは、$\sin\theta = 0$ または $2\cos\theta - 1 = 0$のとき。

$\sin\theta = 0$となるのは、$\theta = 0$のとき。このとき、$x=0, y=0$

$2\cos\theta - 1 = 0$となるのは、$\cos\theta = \frac{1}{2}$のとき。$\theta = \frac{\pi}{3}$

このとき、$x = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

したがって、$P(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$のとき、$x$座標は最大となる。

$\theta$が0から$\frac{\pi}{2}$まで変化するとき、Pは$(\cos\theta - \cos^2\theta, \sin\theta - \cos\theta\sin\theta)$で表される曲線を描く。

$(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$で$x$座標が最大となる。

(3)

$x = (1-\cos\theta)\cos\theta = \cos\theta - \cos^2\theta$

$y = (1-\cos\theta)\sin\theta = \sin\theta - \cos\theta\sin\theta$

$\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta + 2\cos\theta\sin\theta = \sin\theta(2\cos\theta - 1)$

$\frac{dy}{d\theta} = \cos\theta - \cos^2\theta + \sin^2\theta = \cos\theta - \cos^2\theta + (1 - \cos^2\theta) = \cos\theta - 2\cos^2\theta + 1$

$\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2 = (\sin\theta(2\cos\theta-1))^2 + (\cos\theta - 2\cos^2\theta + 1)^2$

$= \sin^2\theta(4\cos^2\theta - 4\cos\theta + 1) + \cos^2\theta - 4\cos^3\theta + 4\cos^4\theta + 2\cos\theta - 4\cos^2\theta + 1$

$= (1-\cos^2\theta)(4\cos^2\theta - 4\cos\theta + 1) + \cos^2\theta - 4\cos^3\theta + 4\cos^4\theta + 2\cos\theta - 4\cos^2\theta + 1$

$= 4\cos^2\theta - 4\cos\theta + 1 - 4\cos^4\theta + 4\cos^3\theta - \cos^2\theta + \cos^2\theta - 4\cos^3\theta + 4\cos^4\theta + 2\cos\theta - 4\cos^2\theta + 1$

$= -2\cos\theta + 2$

したがって、曲線の長さは

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2-2\cos\theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2(1-\cos\theta)} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2 \cdot 2 \sin^2\frac{\theta}{2}} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin\frac{\theta}{2} d\theta = [-4\cos\frac{\theta}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}} = -4\cos\frac{\pi}{4} + 4\cos 0 = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 = 4 - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) Pの座標: $((1-\cos\theta) \cos\theta, (1-\cos\theta) \sin\theta)$

(2) 概形：省略、Pのx座標が最大となる点の座標: $(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

(3) 曲線の長さ: $4 - 2\sqrt{2}$