与えられた関数の極限 $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\displaystyle x=4$ を代入すると、分子は $4-4=0$ となり、分母は $\sqrt{4-3}-1 = \sqrt{1}-1 = 1-1=0$ となり、$\frac{0}{0}$ の不定形となります。

そこで、分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{x-3}+1$ を掛けます。

$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1} = \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1)}$

分母を計算すると

$(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1) = (x-3) - 1^2 = x-3-1 = x-4$ となります。

よって、

$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{x-4} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3}+1)$

ここで、$\displaystyle x=4$ を代入すると、$\sqrt{4-3}+1 = \sqrt{1}+1 = 1+1 = 2$ となります。

3. 最終的な答え

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