次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 2 - \frac{6}{x+3} \right)$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 2 - \frac{6}{x+3} \right)$

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を整理します。

$2 - \frac{6}{x+3} = \frac{2(x+3) - 6}{x+3} = \frac{2x + 6 - 6}{x+3} = \frac{2x}{x+3}$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{2x}{x+3} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(x+3)}$

$x \neq 0$の場合、$x$を約分できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{x+3}$

$x \to 0$のとき、$x+3 \to 3$なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{x+3} = \frac{2}{0+3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$