導関数の定義に従って関数 $f(x) = (2x-1)^3$ を微分せよ。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って関数 $f(x) = (2x-1)^3$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

与えられた関数 $f(x) = (2x-1)^3$ を上記の定義に代入して計算します。

$f(x+h) = (2(x+h) - 1)^3 = (2x + 2h - 1)^3$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(2x + 2h - 1)^3 - (2x - 1)^3}{h}$

ここで、$A = 2x - 1$ とおくと、$2x+2h-1 = A+2h$ となるので、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(A + 2h)^3 - A^3}{h}$

$(A+2h)^3 = A^3 + 3A^2(2h) + 3A(2h)^2 + (2h)^3 = A^3 + 6A^2h + 12Ah^2 + 8h^3$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{A^3 + 6A^2h + 12Ah^2 + 8h^3 - A^3}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{6A^2h + 12Ah^2 + 8h^3}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (6A^2 + 12Ah + 8h^2)$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(x) = 6A^2$

$A = 2x - 1$ を代入して、

$f'(x) = 6(2x - 1)^2$

$f'(x) = 6(4x^2 - 4x + 1)$

$f'(x) = 24x^2 - 24x + 6$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 24x^2 - 24x + 6$