関数 $f(x) = \sin x$ について、導関数の定義に従って $f'(x) = \cos x$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x$ について、導関数の定義に従って $f'(x) = \cos x$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

です。与えられた関数 $f(x) = \sin x$ をこの定義に代入すると、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$

三角関数の加法定理 $\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ を用いて、分子を変形すると、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$$

$\sin x$ で括ると、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \sin x \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \frac{\sin h}{h} \right)$$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ と $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ を用いると、

$$f'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1$$

$$f'(x) = \cos x$$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \cos x$