与えられた10個の極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^3}{x}$ (3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{\log x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 + x - e^x}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1} x}{x - x \cos x}$ (6) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$ (7) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{x}{1-x}}$ (8) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1 - x^2}$ (9) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x^2 + x})^{x^2}$ (10) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$ (ただし、$a, b > 0$)

1. 問題の内容

与えられた10個の極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^3}{x}$

(3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{\log x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 + x - e^x}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1} x}{x - x \cos x}$

(6) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

(7) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{x}{1-x}}$

(8) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1 - x^2}$

(9) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x^2 + x})^{x^2}$

(10) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$ (ただし、$a, b > 0$)

2. 解き方の手順

(1) ロピタルの定理を3回適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

(2) ロピタルの定理を3回適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^3}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3(\log x)^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{6 \log x \cdot \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{6 \log x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} = 0$

(3) $x - 1 = t$ とおくと、$x = t + 1$ であり、$x \to 1 + 0$ のとき $t \to 0 + 0$ となります。

$\lim_{x \to 1+0} \frac{x - 1}{\log x} = \lim_{t \to 0+0} \frac{t}{\log(t + 1)} = \lim_{t \to 0+0} \frac{1}{\frac{1}{t+1}} = \lim_{t \to 0+0} (t + 1) = 1$

(4) ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 + x - e^x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{1 - e^x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{-e^x} = \frac{2}{-1} = -2$

(5) ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1} x}{x - x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - \cos x + x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt{1-x^2} - 1}{\sqrt{1-x^2}}}{1 - \cos x + x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x^2} - 1}{\sqrt{1 - x^2}(1 - \cos x + x \sin x)}$

分子の有理化を行うと

$\lim_{x \to 0} \frac{1-x^2 - 1}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2} + 1)(1-\cos x + x \sin x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2} + 1)(1-\cos x + x \sin x)}$

ここで $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$ を使うと

$\lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2} + 1)(\frac{x^2}{2} + x \sin x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2} + 1)(\frac{1}{2} + \frac{\sin x}{x})} = \frac{-1}{1(1+1)(\frac{1}{2} + 1)} = \frac{-1}{2 \cdot \frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}$

(6) $y = x^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\log y = \frac{1}{x} \log x = \frac{\log x}{x}$ となります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} \log y = 0$ となり、$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

(7) $x = 1 + t$ とおくと、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{x \to 1} x^{\frac{x}{1-x}} = \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1+t}{-t}} = \lim_{t \to 0} (1+t)^{-\frac{1}{t}-1} = \lim_{t \to 0} \frac{(1+t)^{-\frac{1}{t}}}{1+t} = \frac{e^{-1}}{1} = \frac{1}{e}$

(8) ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1 - x^2} = \lim_{x \to 1} \frac{\log x + 1}{-2x} = \frac{0 + 1}{-2} = -\frac{1}{2}$

(9) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x^2 + x})^{x^2} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x^2})^{x^2} = e^a$

(10) ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a^x \log a - b^x \log b}{1} = \log a - \log b = \log \frac{a}{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $0$

(3) $1$

(4) $-2$

(5) $-\frac{1}{3}$

(6) $1$

(7) $\frac{1}{e}$

(8) $-\frac{1}{2}$

(9) $e^a$

(10) $\log \frac{a}{b}$