関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x}$ の $0 < x < \frac{\pi}{2}$ における連続性を調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x}$ の $0 < x < \frac{\pi}{2}$ における連続性を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ の値によって場合分けを行います。

(1) $0 < \tan x < 1$ のとき (すなわち $0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき):

$\lim_{n \to \infty} \tan^n x = 0$ なので、

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f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \frac{0}{1 + 0} = 0

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(2) $\tan x = 1$ のとき (すなわち $x = \frac{\pi}{4}$ のとき):

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f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1 + 1^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

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(3) $\tan x > 1$ のとき (すなわち $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき):

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f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan x}{\frac{1}{\tan^n x} + 1} = \frac{\tan x}{0 + 1} = \tan x

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したがって、関数 $f(x)$ は次のように表されます。

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f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < \frac{\pi}{4}) \\

\frac{1}{2} & (x = \frac{\pi}{4}) \\

\tan x & (\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2})

\end{cases}

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次に、連続性を調べます。

$x = \frac{\pi}{4}$ における連続性を調べます。

左からの極限: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4} - 0} f(x) = 0$

右からの極限: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4} + 0} f(x) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

左からの極限、右からの極限、関数値が一致しないので、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続です。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ では $f(x) = 0$ であり、連続です。

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ では $f(x) = \tan x$ であり、連続です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続であり、$0 < x < \frac{\pi}{4}$ および $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ では連続です。