$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を繰り返し適用します。

まず、 $x=0$ を代入すると、分子は $2\cos(0) - 2 + 0^2 = 2(1) - 2 + 0 = 0$ であり、分母も $0^4 = 0$ であるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

1回微分：

分子の微分：$\frac{d}{dx}(2\cos x - 2 + x^2) = -2\sin x + 2x$

分母の微分：$\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$

$\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin x + 2x}{4x^3}$

$x=0$ を代入すると、分子は $-2\sin(0) + 2(0) = 0$ であり、分母も $4(0)^3 = 0$ であるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。再びロピタルの定理を適用します。

2回微分：

分子の微分：$\frac{d}{dx}(-2\sin x + 2x) = -2\cos x + 2$

分母の微分：$\frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2$

$\lim_{x \to 0} \frac{-2\cos x + 2}{12x^2}$

$x=0$ を代入すると、分子は $-2\cos(0) + 2 = -2(1) + 2 = 0$ であり、分母も $12(0)^2 = 0$ であるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。再びロピタルの定理を適用します。

3回微分：

分子の微分：$\frac{d}{dx}(-2\cos x + 2) = 2\sin x$

分母の微分：$\frac{d}{dx}(12x^2) = 24x$

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{24x}$

$x=0$ を代入すると、分子は $2\sin(0) = 0$ であり、分母も $24(0) = 0$ であるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。再びロピタルの定理を適用します。

4回微分：

分子の微分：$\frac{d}{dx}(2\sin x) = 2\cos x$

分母の微分：$\frac{d}{dx}(24x) = 24$

$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x}{24} = \frac{2\cos 0}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

あるいは、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用して、$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{24x} = \frac{2}{24} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{12}(1) = \frac{1}{12}$ とすることもできます。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{12}$