関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$ $f(x)$が実数全体で定義された連続関数となるように、$a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$

$f(x)$が実数全体で定義された連続関数となるように、$a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が連続となるためには、境界点である $x = 0$ で連続である必要があります。$x = 0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

* $f(0)$ が定義されている。

* $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

* $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

$f(0)$ は、$x \geq 0$ の場合の定義より、

$f(0) = 0$ となります。

$\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在するためには、左からの極限と右からの極限が一致する必要があります。

右からの極限は、$x \geq 0$ の定義より、

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$ となります。

左からの極限は、$x < 0$ の定義より、

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x + a) = -2(0) + a = a$ となります。

極限が存在するためには、

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x)$

が成り立つ必要があり、

$0 = a$

となります。

最後に、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ である必要があります。

$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ であり、$f(0) = 0$ なので、この条件も満たされます。

したがって、$a = 0$ が求める値です。

3. 最終的な答え

$a = 0$