導関数の定義に従って、関数 $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ ($x > 0$)を微分せよ。 $x^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{x})^3$が成り立つことを利用する。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って、関数 $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ ($x > 0$)を微分せよ。

$x^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{x})^3$が成り立つことを利用する。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次のとおりです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義を使って $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ を微分します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{h}$

$f(x) = x^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{x})^3$ より、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h})^3 - (\sqrt{x})^3}{h}$

ここで、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用して分子を変形します。

$a = \sqrt{x+h}$、 $b = \sqrt{x}$とすると、

$(\sqrt{x+h})^3 - (\sqrt{x})^3 = (\sqrt{x+h} - \sqrt{x})((\sqrt{x+h})^2 + \sqrt{x+h}\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2)$

$= (\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(x+h + \sqrt{x(x+h)} + x)$

$= (\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(2x+h + \sqrt{x(x+h)})$

したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(2x+h + \sqrt{x(x+h)})}{h}$

$\sqrt{x+h} - \sqrt{x}$ に $\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$ をかけると、

$\sqrt{x+h} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{(x+h) - x}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{h}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

よって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}(2x+h + \sqrt{x(x+h)})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2x+h + \sqrt{x(x+h)}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$h \to 0$ のとき、

$f'(x) = \frac{2x + \sqrt{x^2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{2x + x}{2\sqrt{x}} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2} \sqrt{x} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$