以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$

2. 解き方の手順

この極限は、$x$ に $2$ を代入すると分子も分母も $0$ になる $\frac{0}{0}$ の不定形です。そのため、式を工夫して不定形を解消する必要があります。

分子にルートが含まれているので、分子を有理化します。

$\sqrt{x+7} - 3$ の共役な式は $\sqrt{x+7} + 3$ なので、分子と分母にこれを掛けます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$

分子を展開すると、

$(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3) = (x+7) - 3^2 = x+7 - 9 = x-2$

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$

$x \to 2$ であるので、$x \neq 2$ です。したがって、$x-2 \neq 0$ であるため、分子と分母にある $(x-2)$ を約分できます。

$\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3}$

ここで、$x$ に $2$ を代入すると、

$\frac{1}{\sqrt{2+7}+3} = \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$