$\lim_{x \to -4} \frac{\sqrt{ax+8}+b}{x+4} = \frac{1}{4}$が成り立つように、$a, b$の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -4} \frac{\sqrt{ax+8}+b}{x+4} = \frac{1}{4}$が成り立つように、$a, b$の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to -4$ のとき、分母 $x+4 \to 0$ となります。極限が存在するためには、分子も $0$ に収束する必要があります。したがって、

$\sqrt{a(-4)+8} + b = 0$

$\sqrt{-4a+8} + b = 0$

$b = -\sqrt{-4a+8}$

このとき、与えられた極限の式は不定形 $\frac{0}{0}$ となるので、ロピタルの定理を用いるか、分子を有理化します。ここでは分子の有理化を行います。

$\lim_{x \to -4} \frac{\sqrt{ax+8}+b}{x+4} = \lim_{x \to -4} \frac{(\sqrt{ax+8}+b)(\sqrt{ax+8}-b)}{(x+4)(\sqrt{ax+8}-b)} = \lim_{x \to -4} \frac{(ax+8)-b^2}{(x+4)(\sqrt{ax+8}-b)}$

ここで、$b = -\sqrt{-4a+8}$ より、$b^2 = -4a+8$ なので、

$\lim_{x \to -4} \frac{ax+8-(-4a+8)}{(x+4)(\sqrt{ax+8}-b)} = \lim_{x \to -4} \frac{ax+4a}{(x+4)(\sqrt{ax+8}-b)} = \lim_{x \to -4} \frac{a(x+4)}{(x+4)(\sqrt{ax+8}-b)} = \lim_{x \to -4} \frac{a}{\sqrt{ax+8}-b}$

ここで、$x \to -4$ とすると、

$\frac{a}{\sqrt{-4a+8}-b} = \frac{a}{\sqrt{-4a+8}-(-\sqrt{-4a+8})} = \frac{a}{2\sqrt{-4a+8}}$

これが $\frac{1}{4}$ に等しいので、

$\frac{a}{2\sqrt{-4a+8}} = \frac{1}{4}$

$4a = 2\sqrt{-4a+8}$

$2a = \sqrt{-4a+8}$

両辺を2乗すると、

$4a^2 = -4a+8$

$4a^2 + 4a - 8 = 0$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a+2)(a-1) = 0$

$a = -2, 1$

$a=-2$のとき、$b = -\sqrt{-4(-2)+8} = -\sqrt{16} = -4$. しかし、 $2a = \sqrt{-4a+8}$を満たさない。

$a=1$のとき、$b = -\sqrt{-4(1)+8} = -\sqrt{4} = -2$.

$2a = \sqrt{-4a+8} = \sqrt{-4+8} = \sqrt{4} = 2$なので、$a=1$は正しい。

3. 最終的な答え

$a=1, b=-2$